大学受験に向けた高校数学の公式・定理50問です。数学I・A・II・Bの範囲から、入試で必ず使うものを集めました。問題をタップすると答えが開きます。
- 公式が言えるかの確認用です…計算力は問題を解いて付けてください
- まず答えを見ずに1周…出てこなかった公式に印をつけます
- ★は間違えやすい・条件を忘れやすい問題…相加相乗の「正であること」など
- 覚えていない公式が3つ以上ある分野は要注意…その分野は演習量が足りていません
数学の失点は「公式を知らない」より「条件を忘れている」ほうが多いです。相加相乗の「a, b が正」、階差数列の「n = 1 は別に確認」、極値の「符号が変わること」——この50問では、そうした条件つきの公式を意識的に集めました。
科目別の一問一答一覧と、いまどの科目に時間を使うべきかは次の記事にまとめています。
二次関数・三角比・三角関数（問1〜10）
1. 二次関数 y = ax² + bx + c を平方完成した形と、頂点の座標を答えなさい。
y = a(x + b/2a)² − (b² − 4ac)/4a となり、頂点は ( −b/2a , −(b²−4ac)/4a ) です。
2. 二次方程式の判別式 D と、解の個数の関係を答えなさい。
D = b² − 4ac で、D > 0 なら異なる2つの実数解、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数解なしです。
3. 解と係数の関係を答えなさい。★
ax² + bx + c = 0 の2解を α, β とすると α + β = −b/a、αβ = c/a です。
4. 正弦定理を書きなさい。
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R は外接円の半径）です。
5. 余弦定理を書きなさい。
a² = b² + c² − 2bc・cosA です。3辺から角を求めるときは cosA = (b²+c²−a²)/2bc と変形します。
6. 三角形の面積を、2辺とその間の角で表しなさい。
S = (1/2)bc・sinA です。
7. sin²θ + cos²θ の値を答えなさい。またそこから導かれる関係式を1つ書きなさい。
1 です。両辺を cos²θ で割ると 1 + tan²θ = 1/cos²θ が導かれます。
8. 加法定理 sin(α+β) と cos(α+β) を書きなさい。★
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ、cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ です。cos は符号が逆になる点に注意してください。
9. 2倍角の公式 sin2θ と cos2θ を書きなさい。
sin2θ = 2sinθcosθ、cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1 です。
10. 三角関数の合成 a・sinθ + b・cosθ を1つの式にまとめなさい。★
√(a²+b²)・sin(θ + α) と表せます（α は cosα = a/√(a²+b²), sinα = b/√(a²+b²) を満たす角）。
三角関数は加法定理さえ覚えれば、2倍角も合成もそこから導けます。全部を丸暗記しようとすると必ず崩れます。
指数対数・場合の数・確率（問11〜19）
11. 指数法則 a^m × a^n と (a^m)^n を答えなさい。
a^(m+n) と a^(mn) です。
12. a^0 と a^(−n) の値を答えなさい。
a^0 = 1、a^(−n) = 1/a^n です。
13. 対数の定義を答えなさい。
a^p = M のとき p = log_a M です。「a を何乗したら M になるか」を表します。
14. 対数の性質 log_a(MN) と log_a(M/N) を答えなさい。
log_a M + log_a N と log_a M − log_a N です。
15. 底の変換公式を書きなさい。★
log_a b = log_c b / log_c a です。底をそろえたいときに使います。
16. 順列 nPr と組合せ nCr の式を書きなさい。
nPr = n!/(n−r)!、nCr = n!/{r!(n−r)!} です。
17. 順列と組合せの使い分けを答えなさい。★
並べる順番を区別するなら順列、区別しないなら組合せです。「選ぶだけ」なら組合せです。
18. 反復試行の確率の式を書きなさい。★
1回の試行で事象Aが起こる確率を p とすると、n回中r回起こる確率は nCr × p^r × (1−p)^(n−r) です。
19. 条件付き確率 P(B|A) の式を書きなさい。
P(B|A) = P(A∩B) / P(A) です。
確率は順列か組合せかの判断で決まります。「並べるか、選ぶだけか」——これだけです。
数列（問20〜24）
20. 等差数列の一般項と、初項から第n項までの和を書きなさい。
一般項は a_n = a + (n−1)d、和は S_n = n(a + a_n)/2 = n{2a + (n−1)d}/2 です。
21. 等比数列の一般項と、和の公式を書きなさい。
一般項は a_n = a・r^(n−1)、和は S_n = a(1 − r^n)/(1 − r)（r ≠ 1）です。
22. Σ[k=1,n] k と Σ[k=1,n] k² の公式を書きなさい。★
n(n+1)/2 と n(n+1)(2n+1)/6 です。
23. 階差数列を使って一般項を求める式を書きなさい。★
数列 {a_n} の階差数列を {b_n} とすると、n ≧ 2 のとき a_n = a_1 + Σ[k=1,n−1] b_k です。n = 1 のときは別に確認する必要があります。
24. 数学的帰納法の証明の手順を答えなさい。
①n = 1 のとき成り立つことを示す ②n = k のとき成り立つと仮定して、n = k+1 のときも成り立つことを示す——この2段階です。
数列は階差数列で n = 1 を別に確認するのを忘れる人が非常に多いです。ここは必ずセットで覚えてください。
微分・積分（問25〜32）
25. 微分係数の定義を式で書きなさい。
f'(a) = lim[h→0] {f(a+h) − f(a)} / h です。
26. 導関数 f'(x) が表す図形的な意味を答えなさい。
その点における接線の傾きです。
27. x^n を微分するとどうなるか。
nx^(n−1) です。
28. 関数の増減と f'(x) の符号の関係を答えなさい。
f'(x) > 0 なら増加、f'(x) < 0 なら減少です。符号が変わる点が極値の候補になります。
29. 極値をとる条件について、注意すべき点を答えなさい。★
f'(x) = 0 は極値の必要条件にすぎません。f'(x) の符号が変化して初めて極値になります（y = x³ の x = 0 が反例）。
30. 不定積分 ∫x^n dx を書きなさい。
x^(n+1)/(n+1) + C（n ≠ −1、C は積分定数）です。
31. 定積分と面積の関係を答えなさい。
区間 [a, b] で f(x) ≧ 0 のとき、∫[a,b] f(x)dx が x軸との間の面積を表します。
32. 2曲線 y = f(x), y = g(x) に挟まれた面積の求め方を答えなさい。★
∫[a,b] {(上の関数) − (下の関数)} dx です。どちらが上かを必ず確認してください。
微分で最も多いミスが「f'(x) = 0 なら極値」と思い込むことです。符号が変わって初めて極値になります。
ベクトル・図形と方程式（問33〜40）
33. ベクトルの内積の2つの表し方を書きなさい。★
a⃗・b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ と、成分では a⃗・b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ です。
34. 2つのベクトルが垂直である条件を答えなさい。
内積が0になることです（どちらも零ベクトルでない場合）。
35. 点Pが直線AB上にある条件を、ベクトルで表しなさい。★
OP⃗ = sOA⃗ + tOB⃗ かつ s + t = 1 です。
36. 平面上の点の内分点の公式を、ベクトルで書きなさい。
線分ABを m : n に内分する点Pは OP⃗ = (nOA⃗ + mOB⃗)/(m+n) です。
37. 円の方程式を書きなさい。
中心 (a, b)、半径 r の円は (x−a)² + (y−b)² = r² です。
38. 点と直線の距離の公式を書きなさい。★
点 (x₁, y₁) と直線 ax + by + c = 0 の距離は |ax₁ + by₁ + c| / √(a²+b²) です。
39. 2直線が垂直である条件を、傾きで答えなさい。
傾きの積が −1 になることです。
40. 軌跡の問題を解く手順を答えなさい。★
①求める点を(x, y)とおく ②条件を式にする ③文字を消去してx, yの関係式にする——この順です。
ベクトルは内積の2つの表し方を行き来できるかが勝負です。角度を出すなら定義式、成分が分かるなら成分計算です。
論理・整数・仕上げ（問41〜50）
41. 必要条件と十分条件の見分け方を答えなさい。★
p ⇒ q が成り立つとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件です。「矢印の先が必要条件」と覚えます。
42. 対偶を使った証明が有効なのはどんなときか。
元の命題が直接示しにくいときです。「p ⇒ q」と「not q ⇒ not p」は真偽が一致します。
43. 背理法の手順を答えなさい。
結論を否定して仮定し、矛盾を導くという手順です。
44. 絶対値 |x| を場合分けなしで扱う方法を1つ答えなさい。★
両辺を2乗する方法があります（|x|² = x²）。ただし2乗できるのは両辺が0以上のときに限ります。
45. 相加平均・相乗平均の関係を書きなさい。また使える条件も答えなさい。★
a > 0, b > 0 のとき (a+b)/2 ≧ √(ab)（等号は a = b のとき）です。正であることが条件で、これを確認せずに使うと減点されます。
46. 複素数 i の定義と、i² の値を答えなさい。
i は i² = −1 を満たす数で、虚数単位といいます。
47. 共役複素数とは何か。またその積はどうなるか。
a + bi に対する a − bi のことです。積は a² + b²（実数）になります。
48. 整数問題で、余りに注目する解法を何というか。
合同式（mod）を使う方法です。3で割った余りで分類するなど、余りごとに場合分けします。
49. 公式を忘れてしまったとき、まずやるべきことを答えなさい。
簡単な具体例で確かめることです。たとえば加法定理なら α = β = 0 を代入すれば、符号の正誤がすぐ分かります。
50. 見直しで計算ミスを見つけやすくする方法を答えなさい。
途中式を消さずに残しておくことです。答えだけ書き直すと、どこで間違えたか分からず同じミスを繰り返します。
ここまでお疲れさまでした。残りは論理と整数、そして実戦の話です。最後の2問は点を落とさないための現実的な話なので必ず読んでください。
50問おつかれさまでした
公式が確認できたら、あとは手を動かすだけです。数学は読んで理解した量ではなく、解いた量で決まります。
数学が苦手な生徒に共通するのは、解説を読んで「分かった」で終わっていることです。解説を閉じて、もう一度自分で最初から解く——これをやるかどうかで半年後がまったく変わります。
ほかの一問一答50問ノック
年内入試（総合型・学校推薦）を検討している方はこちらもご覧ください。
公式の確認が終わったら過去問へ進みます。
高1・高2の段階から数学を維持しておくと、高3が楽になります。
国語の総復習50問も用意しています。
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