大学受験に向けた高校数学の公式・定理100問です。数学I・A・II・Bの範囲から、入試で必ず使うものを集めました。問題をタップすると答えが開きます。
- 公式が言えるかの確認用です…計算力は問題を解いて付けてください
- まず答えを見ずに1周…出てこなかった公式に印をつけます
- ★は間違えやすい・条件を忘れやすい問題…相加相乗の「正であること」など
- 覚えていない公式が3つ以上ある分野は要注意…その分野は演習量が足りていません
数学の失点は「公式を知らない」より「条件を忘れている」ほうが多いです。相加相乗の「a, b が正」、階差数列の「n = 1 は別に確認」、極値の「符号が変わること」——この100問では、そうした条件つきの公式を意識的に集めました。
科目別の一問一答一覧と、いまどの科目に時間を使うべきかは次の記事にまとめています。
問1〜10｜二次関数・三角比・三角関数
1. 二次関数 y = ax² + bx + c を平方完成した形と、頂点の座標を答えなさい。
y = a{x + b/(2a)}² − (b² − 4ac)/(4a) となり、頂点は ( −b/(2a) , −(b²−4ac)/(4a) ) です。
2. 二次方程式の判別式 D と、解の個数の関係を答えなさい。
D = b² − 4ac で、D > 0 なら異なる2つの実数解、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数解なしです。
3. 解と係数の関係を答えなさい。★
ax² + bx + c = 0 の2解を α, β とすると α + β = −b/a、αβ = c/a です。
4. 正弦定理を書きなさい。
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R は外接円の半径）です。
5. 余弦定理を書きなさい。
a² = b² + c² − 2bc・cosA です。3辺から角を求めるときは cosA = (b²+c²−a²)/2bc と変形します。
6. 三角形の面積を、2辺とその間の角で表しなさい。
S = (1/2)bc・sinA です。
7. sin²θ + cos²θ の値を答えなさい。またそこから導かれる関係式を1つ書きなさい。
1 です。両辺を cos²θ で割ると 1 + tan²θ = 1/cos²θ が導かれます。
8. 加法定理 sin(α+β) と cos(α+β) を書きなさい。★
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ、cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ です。cos は符号が逆になる点に注意してください。
9. 2倍角の公式 sin2θ と cos2θ を書きなさい。
sin2θ = 2sinθcosθ、cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1 です。
10. 三角関数の合成 a・sinθ + b・cosθ を1つの式にまとめなさい。★
√(a²+b²)・sin(θ + α) と表せます（α は cosα = a/√(a²+b²), sinα = b/√(a²+b²) を満たす角）。
三角関数は加法定理さえ覚えれば、2倍角も合成もそこから導けます。全部を丸暗記しようとすると必ず崩れます。
問11〜19｜指数対数・場合の数・確率
11. 指数法則 a^m × a^n と (a^m)^n を答えなさい。
a^(m+n) と a^(mn) です。
12. a^0 と a^(−n) の値を答えなさい。
a^0 = 1、a^(−n) = 1/a^n です。
13. 対数の定義を答えなさい。
a^p = M のとき p = log_a M です。「a を何乗したら M になるか」を表します。
14. 対数の性質 log_a(MN) と log_a(M/N) を答えなさい。
log_a M + log_a N と log_a M − log_a N です。
15. 底の変換公式を書きなさい。★
log_a b = log_c b / log_c a です。底をそろえたいときに使います。
16. 順列 nPr と組合せ nCr の式を書きなさい。
nPr = n!/(n−r)!、nCr = n!/{r!(n−r)!} です。
17. 順列と組合せの使い分けを答えなさい。★
並べる順番を区別するなら順列、区別しないなら組合せです。「選ぶだけ」なら組合せです。
18. 反復試行の確率の式を書きなさい。★
1回の試行で事象Aが起こる確率を p とすると、n回中r回起こる確率は nCr × p^r × (1−p)^(n−r) です。
19. 条件付き確率 P(B|A) の式を書きなさい。
P(B|A) = P(A∩B) / P(A) です。
確率は順列か組合せかの判断で決まります。「並べるか、選ぶだけか」——これだけです。
問20〜24｜数列
20. 等差数列の一般項と、初項から第n項までの和を書きなさい。
一般項は a_n = a + (n−1)d、和は S_n = n(a + a_n)/2 = n{2a + (n−1)d}/2 です。
21. 等比数列の一般項と、和の公式を書きなさい。
一般項は a_n = a・r^(n−1)、和は S_n = a(1 − r^n)/(1 − r)（r ≠ 1）です。
22. Σ[k=1,n] k と Σ[k=1,n] k² の公式を書きなさい。★
n(n+1)/2 と n(n+1)(2n+1)/6 です。
23. 階差数列を使って一般項を求める式を書きなさい。★
数列 {a_n} の階差数列を {b_n} とすると、n ≧ 2 のとき a_n = a_1 + Σ[k=1,n−1] b_k です。n = 1 のときは別に確認する必要があります。
24. 数学的帰納法の証明の手順を答えなさい。
①n = 1 のとき成り立つことを示す ②n = k のとき成り立つと仮定して、n = k+1 のときも成り立つことを示す——この2段階です。
数列は階差数列で n = 1 を別に確認するのを忘れる人が非常に多いです。ここは必ずセットで覚えてください。
問25〜32｜微分・積分
25. 微分係数の定義を式で書きなさい。
f'(a) = lim[h→0] {f(a+h) − f(a)} / h です。
26. 導関数 f'(x) が表す図形的な意味を答えなさい。
その点における接線の傾きです。
27. x^n を微分するとどうなるか。
nx^(n−1) です。
28. 関数の増減と f'(x) の符号の関係を答えなさい。
f'(x) > 0 なら増加、f'(x) < 0 なら減少です。符号が変わる点が極値の候補になります。
29. 極値をとる条件について、注意すべき点を答えなさい。★
f'(x) = 0 は極値の必要条件にすぎません。f'(x) の符号が変化して初めて極値になります（y = x³ の x = 0 が反例）。
30. 不定積分 ∫x^n dx を書きなさい。
x^(n+1)/(n+1) + C（n ≠ −1、C は積分定数）です。
31. 定積分と面積の関係を答えなさい。
区間 [a, b] で f(x) ≧ 0 のとき、∫[a,b] f(x)dx が x軸との間の面積を表します。
32. 2曲線 y = f(x), y = g(x) に挟まれた面積の求め方を答えなさい。★
∫[a,b] {(上の関数) − (下の関数)} dx です。どちらが上かを必ず確認してください。
微分で最も多いミスが「f'(x) = 0 なら極値」と思い込むことです。符号が変わって初めて極値になります。
問33〜40｜ベクトル・図形と方程式
33. ベクトルの内積の2つの表し方を書きなさい。★
a⃗・b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ と、成分では a⃗・b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ です。
34. 2つのベクトルが垂直である条件を答えなさい。
内積が0になることです（どちらも零ベクトルでない場合）。
35. 点Pが直線AB上にある条件を、ベクトルで表しなさい。★
OP⃗ = sOA⃗ + tOB⃗ かつ s + t = 1 です。
36. 平面上の点の内分点の公式を、ベクトルで書きなさい。
線分ABを m : n に内分する点Pは OP⃗ = (nOA⃗ + mOB⃗)/(m+n) です。
37. 円の方程式を書きなさい。
中心 (a, b)、半径 r の円は (x−a)² + (y−b)² = r² です。
38. 点と直線の距離の公式を書きなさい。★
点 (x₁, y₁) と直線 ax + by + c = 0 の距離は |ax₁ + by₁ + c| / √(a²+b²) です。
39. 2直線が垂直である条件を、傾きで答えなさい。
傾きの積が −1 になることです。ただし一方が y軸に平行で傾きが定義できないときは、この式は使えません（相手が x軸に平行なら垂直です）。
40. 軌跡の問題を解く手順を答えなさい。★
①求める点を(x, y)とおく ②条件を式にする ③文字を消去してx, yの関係式にする——この順です。
ベクトルは内積の2つの表し方を行き来できるかが勝負です。角度を出すなら定義式、成分が分かるなら成分計算です。
問41〜50｜論理・整数・仕上げ
41. 必要条件と十分条件の見分け方を答えなさい。★
p ⇒ q が成り立つとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件です。「矢印の先が必要条件」と覚えます。
42. 対偶を使った証明が有効なのはどんなときか。
元の命題が直接示しにくいときです。「p ⇒ q」と「not q ⇒ not p」は真偽が一致します。
43. 背理法の手順を答えなさい。
結論を否定して仮定し、矛盾を導くという手順です。
44. 絶対値 |x| を場合分けなしで扱う方法を1つ答えなさい。★
両辺を2乗する方法があります（|x|² = x²）。ただし2乗できるのは両辺が0以上のときに限ります。
45. 相加平均・相乗平均の関係を書きなさい。また使える条件も答えなさい。★
a > 0, b > 0 のとき (a+b)/2 ≧ √(ab)（等号は a = b のとき）です。正であることが条件で、これを確認せずに使うと減点されます。
46. 複素数 i の定義と、i² の値を答えなさい。
i は i² = −1 を満たす数で、虚数単位といいます。
47. 共役複素数とは何か。またその積はどうなるか。
a + bi に対する a − bi のことです。積は a² + b²（実数）になります。
48. 整数問題で、余りに注目する解法を何というか。
合同式（mod）を使う方法です。3で割った余りで分類するなど、余りごとに場合分けします。
49. 公式を忘れてしまったとき、まずやるべきことを答えなさい。
簡単な具体例で確かめることです。たとえば加法定理なら α = β = 0 を代入すれば、符号の正誤がすぐ分かります。
50. 見直しで計算ミスを見つけやすくする方法を答えなさい。
途中式を消さずに残しておくことです。答えだけ書き直すと、どこで間違えたか分からず同じミスを繰り返します。
問51〜60｜数と式・2次関数
51. (x＋2)(x−5) を展開しなさい。
x²−3x−10。
52. x²−5x＋6 を因数分解しなさい。
(x−2)(x−3)。
53. 6x²−x−2 を因数分解しなさい。★
(2x＋1)(3x−2)。
たすき掛け。x²の係数が1でないときは、積が −12 で和が −1 になる組を探すと速いです。
54. x²−4x＋1＝0 を解きなさい。★
x＝2±√3。
解の公式より (4±√12)/2 ＝ 2±√3。√12＝2√3 に直してから約分します。
55. y＝x²−4x＋5 の頂点の座標を求めなさい。
(2, 1)。
平方完成して y＝(x−2)²＋1。
56. y＝x²−4x＋5 の最小値を求めなさい。
1（x＝2 のとき）。
下に凸なので頂点が最小です。
57. y＝−2x²＋4x＋1 の最大値を求めなさい。★
3（x＝1 のとき）。
x²の係数が負なら上に凸＝頂点が最大。ここを取り違えると符号ごと外します。
58. 不等式 x²−3x＋2＞0 を解きなさい。★
x＜1、2＜x。
(x−1)(x−2)＞0。「＞0 なら外側、＜0 なら内側」と覚えると速いです。
59. 2次方程式 x²＋kx＋9＝0 が重解をもつときの k を求めなさい。★
k＝±6。
判別式 k²−36＝0。±を落とすミスが多い問題です。
60. √(x²) を絶対値を使わずに表すと誤りになる理由を説明しなさい。★
√(x²)＝|x| であり、x が負のときは −x になるから。
√(x²)＝x としてよいのは x≧0 のときだけです。
問61〜70｜三角比
61. sin30°、cos30°、tan30° の値を答えなさい。
1/2、√3/2、1/√3（＝√3/3）。
62. sin²θ＋cos²θ の値は。
1。
ここから 1＋tan²θ＝1/cos²θ も導けます。
63. 正弦定理を書きなさい。★
a/sinA ＝ b/sinB ＝ c/sinC ＝ 2R（R は外接円の半径）。
2R がつくのを忘れがちです。
64. 余弦定理を書きなさい。
a² ＝ b²＋c²−2bc・cosA。
65. 三角形の面積を2辺とその間の角で表しなさい。★
S ＝ (1/2)bc・sinA。
「間の角」でないと使えません。
66. a＝3、b＝4、その間の角が60°の三角形の面積を求めなさい。
3√3。
(1/2)×3×4×(√3/2)。
67. b＝2、c＝3、A＝60° のとき a を求めなさい。★
a＝√7。
a²＝4＋9−2×2×3×(1/2)＝7。余弦定理の −2bc・cosA の符号に注意。
68. 0°≦θ≦180° で sinθ＝1/2 となる θ をすべて求めなさい。★
θ＝30°、150°。
sin は2つあるのが要注意（cos は1つ）。
69. tan(90°−θ) を tanθ で表しなさい。
1/tanθ。
70. a＝6、A＝30° の三角形の外接円の半径 R を求めなさい。★
R＝6。
正弦定理より 2R＝6÷(1/2)＝12。
問71〜78｜指数・対数
71. a⁰ と a^(−n) をそれぞれ簡単にしなさい。
a⁰＝1、a^(−n)＝1/aⁿ（a≠0）。
72. 8^(2/3) を計算しなさい。★
4。
8＝2³ なので 2^(3×2/3)＝2²。分数の指数は「先に根、次に累乗」で処理します。
73. log₂8 を求めなさい。
3。
2の何乗が8か、と読みます。
74. log₁₀2＋log₁₀5 を求めなさい。★
1。
log₁₀(2×5)＝log₁₀10。足し算は中身のかけ算です。
75. log₂(1/4) を求めなさい。★
−2。
1/4＝2^(−2)。1より小さい数の対数は負になります。
76. 2^x＝32 を解きなさい。
x＝5。
77. log₃x＝2 を解きなさい。
x＝9。
真数条件（x＞0）も確認します。
78. 底の変換公式を書きなさい。★
log_a b ＝ log_c b ÷ log_c a。
底をそろえるときに使います。
問79〜86｜場合の数と確率
79. 5人から3人を選ぶ選び方は何通りか。
10通り（₅C₃）。
80. 5人を1列に並べる並べ方は何通りか。
120通り（5!）。
81. 5人から3人を選んで1列に並べる方法は何通りか。★
60通り（₅P₃）。
並べるならP、選ぶだけならC——ここの区別がすべてです。
82. さいころを2個投げて出た目の和が7になる確率を求めなさい。
1/6。
36通り中6通り。
83. 反復試行の確率の公式を書きなさい。★
ₙC_r・p^r・(1−p)^(n−r)。
84. コインを5回投げて表がちょうど3回出る確率を求めなさい。★
5/16。
₅C₃×(1/2)⁵＝10/32。
85. 条件付き確率 P(B|A) を式で表しなさい。★
P(A∩B) ÷ P(A)。
分母が「全体」ではなく「A が起きた場合」になるのがポイントです。
86. 期待値の求め方を説明しなさい。
（値 × その値をとる確率）をすべて足す。
問87〜93｜数列
87. 等差数列の一般項を書きなさい。★
aₙ ＝ a₁ ＋ (n−1)d。
(n−1) であって n ではありません。
88. 等差数列の和を、初項と末項で表しなさい。
Sₙ ＝ n(a₁＋aₙ) ÷ 2。
89. 初項2、公差3の等差数列の第10項を求めなさい。★
29。
2＋9×3。9回足すのであって10回ではありません。
90. 等比数列の一般項を書きなさい。
aₙ ＝ a₁・r^(n−1)。
91. 初項3、公比2の等比数列の第5項を求めなさい。
48。
3×2⁴。
92. 1からnまでの自然数の和を式で表しなさい。
n(n＋1) ÷ 2。
93. 1²から n² までの和を式で表しなさい。★
n(n＋1)(2n＋1) ÷ 6。
問94〜100｜微分・積分
94. x³ を微分しなさい。
3x²。
95. y＝x²−4x の x＝3 における接線の傾きを求めなさい。★
2。
y′＝2x−4 に x＝3 を代入。微分＝傾きを出す道具と押さえます。
96. y＝x³−3x の極大値と極小値を求めなさい。★
極大値2（x＝−1）、極小値−2（x＝1）。
y′＝3x²−3＝0 より x＝±1。増減表を書いてから代入してください。
97. ∫x²dx を求めなさい。★
x³/3 ＋ C。
積分定数 C を忘れない。
98. ∫₀¹ x² dx を求めなさい。
1/3。
99. ∫₀² 2x dx を求めなさい。
4。
[x²]₀² ＝ 4−0。
100. y＝x² と x軸、x＝0 から x＝1 で囲まれた部分の面積を求めなさい。★
1/3。
定積分と面積が一致するのはグラフが x軸より上にあるときだけです。下にある部分は符号が変わります。
ここまでお疲れさまでした。残りは論理と整数、そして実戦の話です。最後の2問は点を落とさないための現実的な話なので必ず読んでください。
50問おつかれさまでした
公式が確認できたら、あとは手を動かすだけです。数学は読んで理解した量ではなく、解いた量で決まります。
数学が苦手な生徒に共通するのは、解説を読んで「分かった」で終わっていることです。解説を閉じて、もう一度自分で最初から解く——これをやるかどうかで半年後がまったく変わります。
ほかの一問一答50問ノック
年内入試（総合型・学校推薦）を検討している方はこちらもご覧ください。
公式の確認が終わったら過去問へ進みます。
高1・高2の段階から数学を維持しておくと、高3が楽になります。
国語の総復習50問も用意しています。
公式の確認が終わったら、次は実際に計算して答えを出す50問です。
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