【高校数学】公式・定理の総復習100問｜条件の忘れやすい所を重点確認

y = a{x + b/(2a)}² − (b² − 4ac)/(4a) となり、頂点は ( −b/(2a) , −(b²−4ac)/(4a) ) です。

D = b² − 4ac で、D > 0 なら異なる2つの実数解、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数解なしです。

ax² + bx + c = 0 の2解を α, β とすると α + β = −b/a、αβ = c/a です。

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R は外接円の半径）です。

a² = b² + c² − 2bc・cosA です。3辺から角を求めるときは cosA = (b²+c²−a²)/2bc と変形します。

S = (1/2)bc・sinA です。

1 です。両辺を cos²θ で割ると 1 + tan²θ = 1/cos²θ が導かれます。

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ、cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ です。cos は符号が逆になる点に注意してください。

sin2θ = 2sinθcosθ、cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1 です。

√(a²+b²)・sin(θ + α) と表せます（α は cosα = a/√(a²+b²), sinα = b/√(a²+b²) を満たす角）。

a^(m+n) と a^(mn) です。

a^0 = 1、a^(−n) = 1/a^n です。

a^p = M のとき p = log_a M です。「a を何乗したら M になるか」を表します。

log_a M + log_a N と log_a M − log_a N です。

log_a b = log_c b / log_c a です。底をそろえたいときに使います。

nPr = n!/(n−r)!、nCr = n!/{r!(n−r)!} です。

並べる順番を区別するなら順列、区別しないなら組合せです。「選ぶだけ」なら組合せです。

1回の試行で事象Aが起こる確率を p とすると、n回中r回起こる確率は nCr × p^r × (1−p)^(n−r) です。

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) です。

一般項は a_n = a + (n−1)d、和は S_n = n(a + a_n)/2 = n{2a + (n−1)d}/2 です。

一般項は a_n = a・r^(n−1)、和は S_n = a(1 − r^n)/(1 − r)（r ≠ 1）です。

n(n+1)/2 と n(n+1)(2n+1)/6 です。

数列 {a_n} の階差数列を {b_n} とすると、n ≧ 2 のとき a_n = a_1 + Σ[k=1,n−1] b_k です。n = 1 のときは別に確認する必要があります。

①n = 1 のとき成り立つことを示す ②n = k のとき成り立つと仮定して、n = k+1 のときも成り立つことを示す。この2段階です。

f'(a) = lim[h→0] {f(a+h) − f(a)} / h です。

その点における接線の傾きです。

nx^(n−1) です。

f'(x) > 0 なら増加、f'(x) < 0 なら減少です。符号が変わる点が極値の候補になります。

f'(x) = 0 は極値の必要条件にすぎません。f'(x) の符号が変化して初めて極値になります（y = x³ の x = 0 が反例）。

x^(n+1)/(n+1) + C（n ≠ −1、C は積分定数）です。

区間 [a, b] で f(x) ≧ 0 のとき、∫[a,b] f(x)dx が x軸との間の面積を表します。

∫[a,b] {(上の関数) − (下の関数)} dx です。どちらが上かを必ず確認してください。

a⃗・b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ と、成分では a⃗・b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ です。

内積が0になることです（どちらも零ベクトルでない場合）。

OP⃗ = sOA⃗ + tOB⃗ かつ s + t = 1 です。

線分ABを m : n に内分する点Pは OP⃗ = (nOA⃗ + mOB⃗)/(m+n) です。

中心 (a, b)、半径 r の円は (x−a)² + (y−b)² = r² です。

点 (x₁, y₁) と直線 ax + by + c = 0 の距離は |ax₁ + by₁ + c| / √(a²+b²) です。

傾きの積が −1 になることです。ただし一方が y軸に平行で傾きが定義できないときは、この式は使えません（相手が x軸に平行なら垂直です）。

①求める点を(x, y)とおく ②条件を式にする ③文字を消去してx, yの関係式にする。この順です。

p ⇒ q が成り立つとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件です。「矢印の先が必要条件」と覚えます。

元の命題が直接示しにくいときです。「p ⇒ q」と「not q ⇒ not p」は真偽が一致します。

結論を否定して仮定し、矛盾を導くという手順です。

両辺を2乗する方法があります（|x|² = x²）。ただし2乗できるのは両辺が0以上のときに限ります。

a > 0, b > 0 のとき (a+b)/2 ≧ √(ab)（等号は a = b のとき）です。正であることが条件で、これを確認せずに使うと減点されます。

i は i² = −1 を満たす数で、虚数単位といいます。

a + bi に対する a − bi のことです。積は a² + b²（実数）になります。

合同式（mod）を使う方法です。3で割った余りで分類するなど、余りごとに場合分けします。

簡単な具体例で確かめることです。たとえば加法定理なら α = β = 0 を代入すれば、符号の正誤がすぐ分かります。

途中式を消さずに残しておくことです。答えだけ書き直すと、どこで間違えたか分からず同じミスを繰り返します。

x²−3x−10。

(x−2)(x−3)。

(2x＋1)(3x−2)。
たすき掛け。x²の係数が1でないときは、積が −12 で和が −1 になる組を探すと速いです。

x＝2±√3。
解の公式より (4±√12)/2 ＝ 2±√3。√12＝2√3 に直してから約分します。

(2, 1)。
平方完成して y＝(x−2)²＋1。

1（x＝2 のとき）。
下に凸なので頂点が最小です。

3（x＝1 のとき）。
x²の係数が負なら上に凸＝頂点が最大。ここを取り違えると符号ごと外します。

x＜1、2＜x。
(x−1)(x−2)＞0。「＞0 なら外側、＜0 なら内側」と覚えると速いです。

k＝±6。
判別式 k²−36＝0。±を落とすミスが多い問題です。

√(x²)＝|x| であり、x が負のときは −x になるから。
√(x²)＝x としてよいのは x≧0 のときだけです。

1/2、√3/2、1/√3（＝√3/3）。

1。
ここから 1＋tan²θ＝1/cos²θ も導けます。

a/sinA ＝ b/sinB ＝ c/sinC ＝ 2R（R は外接円の半径）。
2R がつくのを忘れがちです。

a² ＝ b²＋c²−2bc・cosA。

S ＝ (1/2)bc・sinA。
「間の角」でないと使えません。

3√3。
(1/2)×3×4×(√3/2)。

a＝√7。
a²＝4＋9−2×2×3×(1/2)＝7。余弦定理の −2bc・cosA の符号に注意。

θ＝30°、150°。
sin は2つあるのが要注意（cos は1つ）。

1/tanθ。

R＝6。
正弦定理より 2R＝6÷(1/2)＝12。

a⁰＝1、a^(−n)＝1/aⁿ（a≠0）。

4。
8＝2³ なので 2^(3×2/3)＝2²。分数の指数は「先に根、次に累乗」で処理します。

3。
2の何乗が8か、と読みます。

1。
log₁₀(2×5)＝log₁₀10。足し算は中身のかけ算です。

−2。
1/4＝2^(−2)。1より小さい数の対数は負になります。

x＝5。

x＝9。
真数条件（x＞0）も確認します。

log_a b ＝ log_c b ÷ log_c a。
底をそろえるときに使います。

10通り（₅C₃）。

120通り（5!）。

60通り（₅P₃）。
並べるならP、選ぶだけならC。ここの区別がすべてです。

1/6。
36通り中6通り。

ₙC_r・p^r・(1−p)^(n−r)。

5/16。
₅C₃×(1/2)⁵＝10/32。

P(A∩B) ÷ P(A)。
分母が「全体」ではなく「A が起きた場合」になるのがポイントです。

（値 × その値をとる確率）をすべて足す。

aₙ ＝ a₁ ＋ (n−1)d。
(n−1) であって n ではありません。

Sₙ ＝ n(a₁＋aₙ) ÷ 2。

29。
2＋9×3。9回足すのであって10回ではありません。

aₙ ＝ a₁・r^(n−1)。

48。
3×2⁴。

n(n＋1) ÷ 2。

n(n＋1)(2n＋1) ÷ 6。

3x²。

2。
y′＝2x−4 に x＝3 を代入。微分＝傾きを出す道具と押さえます。

極大値2（x＝−1）、極小値−2（x＝1）。
y′＝3x²−3＝0 より x＝±1。増減表を書いてから代入してください。

x³/3 ＋ C。
積分定数 C を忘れない。

1/3。

4。
[x²]₀² ＝ 4−0。

1/3。
定積分と面積が一致するのはグラフが x軸より上にあるときだけです。下にある部分は符号が変わります。

• 数学I・Aの大問の平均点の合計：16.252 + 17.086 + 6.483 + 7.377 ＝ 47.198（公表の平均点47.20と一致）
• 第1問の得点率：16.252 ÷ 30 ＝ 0.542（54.2%）
• 加法定理で「導く」と「使う」の差：95.3 − 59.1 ＝ 36.2（ポイント）
• 階差数列の基本と和の差：90.9 − 61.1 ＝ 29.8（ポイント）
• 数学I・Aの39設問のうち、正答率80%以上は8問、20%未満も8問：8 ÷ 39 ＝ 0.205（約2割ずつ）