因数分解の公式一覧｜中3・数I・数IIの9個とやり方・練習問題20問

因数分解の公式は、展開の公式を右から左に読んだものです。文部科学省の中学校学習指導要領解説も、「因数分解の公式は、一次式の乗法や式の展開の公式の逆であることを理解」すると書いています。

この記事では、因数分解の公式を中3・数学I・数学IIのどこで習うかで分けて一覧にします。区分は、文科省の学習指導要領解説（数学編）に書かれている公式の範囲に合わせました。

後半には、項の数で公式を選ぶやり方と、答えつきの練習問題20問を載せています。

結論：因数分解の公式は中3で4個、数学Iで1個、数学IIで4個

因数分解の公式一覧【中3・数学I・数学II】

中3で習う因数分解の公式（4個）

中学校の指導要領解説は、第3学年で扱う展開の公式として次の4つを挙げています。因数分解の公式は、これを逆にした形です。

名前	因数分解の公式	見分け方
和と積の公式	x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)	足してxの係数、かけて定数項になる2数
和の平方	a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2	両端が2乗で、真ん中が2×a×b
差の平方	a2−2ab＋b2＝(a−b)2	和の平方の真ん中がマイナス
和と差の公式	a2−b2＝(a＋b)(a−b)	2乗−2乗の2項だけ

解説は、この公式のよさを数の計算で実感させる例として、101²＝(100＋1)²＝10201、13²−12²＝(13＋12)(13−12)＝25を挙げています。

13²−12²は、和と差の公式を使うと25×1で終わります。

因数分解の公式は，一次式の乗法や式の展開の公式の逆であることを理解し，その方法を見いだすことができるようにする。

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 A 数と式

数学Iで習う因数分解の公式（たすき掛け）

高校の数学Iでは、「二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深めること」が内容になっています。解説は、中学校で扱った公式に加えて、次の形の展開と因数分解を数学Iで扱ったと書いています。

名前	因数分解の公式	見分け方
たすき掛け	acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)	x2の係数が1でない3項式

数学Iでは、公式を増やすより「式を目的に応じて変形する」ことが重視されます。一つの文字に着目して整理する、同じかたまりを一つの文字に置き換えるという2つの方法は、解説にも例として書かれています。

数学IIで習う因数分解の公式（3乗の4個）

数学IIの「いろいろな式」では、「三次の乗法公式及び因数分解の公式」を扱います。因数分解の向きに並べると、次の4つです。

名前	因数分解の公式	見分け方
3乗の和	a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2)	3乗＋3乗の2項
3乗の差	a3−b3＝(a−b)(a2＋ab＋b2)	3乗−3乗の2項
和の3乗	a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3	係数が1・3・3・1の4項
差の3乗	a3−3a2b＋3ab2−b3＝(a−b)3	符号が＋−＋−の4項

3乗の和と差は、2つ目のかっこの符号で間違えます。1つ目のかっこと同じ符号が真ん中に来ない（a³＋b³なら真ん中は−ab）と覚えてください。

因数分解のやり方：項の数で公式を選ぶ4ステップ

問題を見て、どの公式を使うか迷う人は、次の順番で見てください。最初に共通因数、次に項の数です。

ステップ	やること	例
1 共通因数	全部の項に共通する数・文字をくくり出す	2x2−8→2(x2−4)
2 項の数を数える	2項なら和と差（3乗の和・差）、3項なら和と積か平方、4項なら組み合わせ	x2−4は2項→和と差
3 公式で分解	見分け方の表に当てはめる	2(x＋2)(x−2)
4 展開して確かめる	答えを展開して元の式に戻るか見る	2(x2−4)＝2x2−8

3項式で、x²の係数が1でなければ、たすき掛けを使います。同じかたまり（例えばx＋y）が2回出てくる式は、そのかたまりを1つの文字に置き換えると、中3の公式に戻せます。

塾で多い因数分解の3つの間違い

中3と高1の授業で、因数分解の答案を見ていて多い間違いは3つです。どれも、公式を知っていても起きます。

間違い	例	直し方
共通因数を先にくくらない	3x2＋6x−24をそのまま探す	先に3でくくるとx2＋2x−8になる
途中でやめる	x4−1＝(x2＋1)(x2−1)で終わる	x2−1はまだ分解できる
和と積の符号	積が負なのに2数を同じ符号で探す	積が負なら、2数は符号が逆

因数分解の練習問題20問（答えつき）

中3の公式→共通因数→たすき掛け→置き換え→3乗の順に並べました。答えは、元の式と数値を代入して一致することを確かめてあります。まず答えの列を手で隠して解いてください。

番号	問題	答え	使う公式
1	x2＋5x＋6	(x＋2)(x＋3)	和と積
2	x2−x−12	(x＋3)(x−4)	和と積
3	x2−8x＋15	(x−3)(x−5)	和と積
4	x2＋6x＋9	(x＋3)2	平方
5	x2−10x＋25	(x−5)2	平方
6	4x2＋12x＋9	(2x＋3)2	平方
7	x2−49	(x＋7)(x−7)	和と差
8	9x2−4y2	(3x＋2y)(3x−2y)	和と差
9	2x2−8	2(x＋2)(x−2)	共通因数→和と差
10	3x2＋6x−24	3(x＋4)(x−2)	共通因数→和と積
11	ax2−ay2	a(x＋y)(x−y)	共通因数→和と差
12	x4−1	(x2＋1)(x＋1)(x−1)	和と差を2回
13	2x2＋7x＋3	(2x＋1)(x＋3)	たすき掛け
14	3x2−5x−2	(3x＋1)(x−2)	たすき掛け
15	6x2＋x−2	(2x−1)(3x＋2)	たすき掛け
16	(x＋y)2−5(x＋y)＋6	(x＋y−2)(x＋y−3)	置き換え
17	xy＋x＋y＋1	(x＋1)(y＋1)	組み合わせ
18	x3＋8	(x＋2)(x2−2x＋4)	3乗の和
19	x3−27	(x−3)(x2＋3x＋9)	3乗の差
20	x3＋6x2＋12x＋8	(x＋2)3	3乗の展開の逆

1〜12が中3と高1の定期テストの範囲、13〜17が数学I、18〜20が数学IIの範囲です。12番のx⁴−1は、和と差の公式を2回使う問題です。1回で止めた人は、上の「途中でやめる」に当てはまります。

共通テストで因数分解は何割が解けたか｜令和7年度 数学Ⅰ，数学Ａ 第1問〔1〕の得点率で確かめた

この記事の公式が大学入試でどう出るかを、大学入試センターの公表データで確かめました。

令和7年度（2025年1月）の共通テスト本試験「数学Ⅰ，数学Ａ」第1問〔1〕は、大学入試センターの自己評価（問題評価・分析委員会報告書）が「因数分解によって方程式を解く場面」と書いている問題です。

a、b を含む x の2次方程式 (2a＋4b−2)x²＋(5a＋11)x−b−8＝0 を、a や b の値を決めながら因数分解して解きます。解答番号ごとの得点率は次のとおりです。

小問	やること（この記事の公式）	配点	数学Ⅰ，数学Ａ 得点率	数学Ⅰ 得点率
(1) ア・イ	a＝1 のとき、b について整理した (4x2−1)b＋16x−8 を因数分解（和と差の公式＋共通因数）	2点	91.1%	70.3%
(2)(i) ウ〜カ	b＝2 のとき、(2a＋6)x2＋(5a＋11)x−10 を因数分解（たすき掛け）	3点	79.1%	45.0%
(2)(ii) キ・ク	a＝2√2 のときの解を求める（分母の有理化）	2点	60.3%	23.6%
(2)(iii) ケ	解が1つだけになるための条件（必要条件・十分条件）	3点	55.6%	45.0%

※受験者数は「数学Ⅰ，数学Ａ」308,344人、「数学Ⅰ」3,090人。数学Ⅰの第1問〔1〕は数学Ⅰ，数学Ａと同じ問題です（自己評価）。得点率は設問別得点率表の値です。

因数分解そのもの（ア〜カ）は、数学Ⅰ，数学Ａの受験者の平均で83.9%取れています。ところが、分解した式から解を出し、条件を考える後半は57.5%に下がりました。

公式を当てはめるところより、分解した後で点が落ちています。

(1)は、この記事で紹介した「一つの文字に着目して整理する」方法そのものです。

x について2次、b について1次なので、b で整理すると (4x²−1)b＋8(2x−1) になります。

4x²−1＝(2x＋1)(2x−1) は中3の和と差の公式で、あとは共通因数 2x−1 をくくるだけです。

(2)(i)は、x²の係数が 2a＋6 と文字を含むときのたすき掛けです。

数学Ⅰだけを受けた人では、たすき掛けの(2)(i)が45.0%、有理化の(2)(ii)が23.6%でした。ただし、2つの科目は受験者の層が違うので、得点率の差をそのまま難しさの差とは読めません。

指導要領解説で「9個」の区分を照合した（数学Ⅱの式の印刷に注意）

この記事の結論「中3で4個、数学Iで1個、数学IIで4個」は、解説の本文と一致しました。中学校の解説（138ページ）は、展開の公式として4つを挙げています。

高校の解説（数学Ⅰ、36〜37ページ）は、中学校の公式を除くと新しい公式は (ax＋b)(cx＋d)＝acx²＋(ad＋bc)x＋bd の「のみ」としています。

数学Ⅱ（55ページ）は3乗の公式を4つ挙げています。

ただし、文部科学省が公開している高校の解説PDFの55ページでは、差の3乗が「(a−b)³＝a³＋3a²b＋3ab²−b³」と印刷されています。

a＝2、b＝1 を代入すると、左辺は (2−1)³ ＝ 1 です。印刷の右辺は 8 ＋ 12 ＋ 6 − 1 ＝ 25 で、合いません。

正しくは a³−3a²b＋3ab²−b³ で、8 − 12 ＋ 6 − 1 ＝ 1 となり左辺と一致します。この記事の表は正しい形で載せています。

解説の掲載ページに正誤表は載っていません（公式に記載なし）。解説で公式を確かめるときは、数を代入して符号を検算してください。

なお、大学入試センターの設問別の表には得点率と正答率だけが載っていて、どんな誤答が多かったかの内訳は公表されていません（公式に記載なし）。

また、令和8年度の本試験の第1問〔1〕は集合の問題でした。年度によって因数分解の出方は変わるので、複数年の過去問で確かめてください。

出典：大学入試センター「設問別得点率及び正答率表（令和７年度本試験）」(CSV)／「令和７年度本試験 問題 数学Ⅰ，数学Ａ」(PDF)／「令和７年度本試験の正解 数学Ⅰ，数学Ａ」(PDF)／「令和７年度 問題評価・分析委員会報告書 数学Ⅰ，数学Ａ／数学Ⅰ（自己評価）」(PDF)／「設問別得点率及び正答率表（令和８年度本試験）」(CSV)／文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」(PDF・138ページ)／「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」(PDF・36〜37ページ、55ページ)／「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説」掲載ページ（2026年10月14日確認）

因数分解でつまずいたら

因数分解で手が止まるときは、たいてい1つ前の「展開」が速くできていません。展開の公式を逆に読むのが因数分解なので、展開を10問続けて間違えずに解けるかを先に確かめてください。

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よくある質問

自分で解いた因数分解の答え合わせは、途中式つきの自動計算ツールでできます。

続けて読む：整数の倍数の証明問題と答案の書き方

この記事で確認した資料

公式の区分と引用は、次の文部科学省の資料の本文で確認しました。2026年9月23日に開いています。

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」（PDF）：第3学年 A 数と式（式の展開と因数分解）

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（PDF）：数学I（1）数と式、数学II（1）いろいろな式

文部科学省 中学校学習指導要領解説（一覧ページ）