因数分解の公式は、展開の公式を右から左に読んだものです。文部科学省の中学校学習指導要領解説も、「因数分解の公式は、一次式の乗法や式の展開の公式の逆であることを理解」すると書いています。
この記事では、因数分解の公式を中3・数学I・数学IIのどこで習うかで分けて一覧にします。区分は、文科省の学習指導要領解説（数学編）に書かれている公式の範囲に合わせました。後半には、項の数で公式を選ぶやり方と、答えつきの練習問題20問を載せています。
結論：因数分解の公式は中3で4個、数学Iで1個、数学IIで4個
中3：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)／a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2／a2−2ab＋b2＝(a−b)2／a2−b2＝(a＋b)(a−b)
数学I：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)（たすき掛け）
数学II：3乗の和と差、3乗の展開の逆の4個
公式を9個まとめて暗記するより、「展開の公式を逆に読む」と覚えるほうが忘れません。展開ができる人は、因数分解の答えを展開して確かめられます。
因数分解の公式一覧【中3・数学I・数学II】
中3で習う因数分解の公式（4個）
中学校の指導要領解説は、第3学年で扱う展開の公式として次の4つを挙げています。因数分解の公式は、これを逆にした形です。
| 名前 | 因数分解の公式 | 見分け方 |
|---|---|---|
| 和と積の公式 | x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) | 足してxの係数、かけて定数項になる2数 |
| 和の平方 | a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 | 両端が2乗で、真ん中が2×a×b |
| 差の平方 | a2−2ab＋b2＝(a−b)2 | 和の平方の真ん中がマイナス |
| 和と差の公式 | a2−b2＝(a＋b)(a−b) | 2乗−2乗の2項だけ |
解説は、この公式のよさを数の計算で実感させる例として、1012＝(100＋1)2＝10201、132−122＝(13＋12)(13−12)＝25を挙げています。132−122は、和と差の公式を使うと25×1で終わります。
因数分解の公式は，一次式の乗法や式の展開の公式の逆であることを理解し，その方法を見いだすことができるようにする。
文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 A 数と式
数学Iで習う因数分解の公式（たすき掛け）
高校の数学Iでは、「二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深めること」が内容になっています。解説は、中学校で扱った公式に加えて、次の形の展開と因数分解を数学Iで扱ったと書いています。
| 名前 | 因数分解の公式 | 見分け方 |
|---|---|---|
| たすき掛け | acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d) | x2の係数が1でない3項式 |
数学Iでは、公式を増やすより「式を目的に応じて変形する」ことが重視されます。一つの文字に着目して整理する、同じかたまりを一つの文字に置き換えるという2つの方法は、解説にも例として書かれています。
数学IIで習う因数分解の公式（3乗の4個）
数学IIの「いろいろな式」では、「三次の乗法公式及び因数分解の公式」を扱います。因数分解の向きに並べると、次の4つです。
| 名前 | 因数分解の公式 | 見分け方 |
|---|---|---|
| 3乗の和 | a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2) | 3乗＋3乗の2項 |
| 3乗の差 | a3−b3＝(a−b)(a2＋ab＋b2) | 3乗−3乗の2項 |
| 和の3乗 | a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 | 係数が1・3・3・1の4項 |
| 差の3乗 | a3−3a2b＋3ab2−b3＝(a−b)3 | 符号が＋−＋−の4項 |
3乗の和と差は、2つ目のかっこの符号で間違えます。1つ目のかっこと同じ符号が真ん中に来ない（a3＋b3なら真ん中は−ab）と覚えてください。
因数分解のやり方：項の数で公式を選ぶ4ステップ
問題を見て、どの公式を使うか迷う人は、次の順番で見てください。最初に共通因数、次に項の数です。
| ステップ | やること | 例 |
|---|---|---|
| 1 共通因数 | 全部の項に共通する数・文字をくくり出す | 2x2−8→2(x2−4) |
| 2 項の数を数える | 2項なら和と差（3乗の和・差）、3項なら和と積か平方、4項なら組み合わせ | x2−4は2項→和と差 |
| 3 公式で分解 | 見分け方の表に当てはめる | 2(x＋2)(x−2) |
| 4 展開して確かめる | 答えを展開して元の式に戻るか見る | 2(x2−4)＝2x2−8 |
3項式で、x2の係数が1でなければ、たすき掛けを使います。同じかたまり（例えばx＋y）が2回出てくる式は、そのかたまりを1つの文字に置き換えると、中3の公式に戻せます。
- 最初に共通因数をくくり出す
- 項の数で公式を選ぶ（2項・3項・4項）
- たすき掛けはx²の係数が1でない3項式
- 最後に展開して答えを確かめる
塾で多い因数分解の3つの間違い
中3と高1の授業で、因数分解の答案を見ていて多い間違いは3つです。どれも、公式を知っていても起きます。
| 間違い | 例 | 直し方 |
|---|---|---|
| 共通因数を先にくくらない | 3x2＋6x−24をそのまま探す | 先に3でくくるとx2＋2x−8になる |
| 途中でやめる | x4−1＝(x2＋1)(x2−1)で終わる | x2−1はまだ分解できる |
| 和と積の符号 | 積が負なのに2数を同じ符号で探す | 積が負なら、2数は符号が逆 |
「これ以上分解できないか」を最後に1回見るだけで、途中でやめるミスはほぼ消えます。答えの中に2乗−2乗が残っていないかを見てください。
- 共通因数を先にくくらず探してしまう
- 分解の途中でやめてしまう
- 積が負なのに2数を同じ符号で探す
- 最後にこれ以上分解できないか確認する
因数分解の練習問題20問（答えつき）
中3の公式→共通因数→たすき掛け→置き換え→3乗の順に並べました。答えは、元の式と数値を代入して一致することを確かめてあります。まず答えの列を手で隠して解いてください。
| 番号 | 問題 | 答え | 使う公式 |
|---|---|---|---|
| 1 | x2＋5x＋6 | (x＋2)(x＋3) | 和と積 |
| 2 | x2−x−12 | (x＋3)(x−4) | 和と積 |
| 3 | x2−8x＋15 | (x−3)(x−5) | 和と積 |
| 4 | x2＋6x＋9 | (x＋3)2 | 平方 |
| 5 | x2−10x＋25 | (x−5)2 | 平方 |
| 6 | 4x2＋12x＋9 | (2x＋3)2 | 平方 |
| 7 | x2−49 | (x＋7)(x−7) | 和と差 |
| 8 | 9x2−4y2 | (3x＋2y)(3x−2y) | 和と差 |
| 9 | 2x2−8 | 2(x＋2)(x−2) | 共通因数→和と差 |
| 10 | 3x2＋6x−24 | 3(x＋4)(x−2) | 共通因数→和と積 |
| 11 | ax2−ay2 | a(x＋y)(x−y) | 共通因数→和と差 |
| 12 | x4−1 | (x2＋1)(x＋1)(x−1) | 和と差を2回 |
| 13 | 2x2＋7x＋3 | (2x＋1)(x＋3) | たすき掛け |
| 14 | 3x2−5x−2 | (3x＋1)(x−2) | たすき掛け |
| 15 | 6x2＋x−2 | (2x−1)(3x＋2) | たすき掛け |
| 16 | (x＋y)2−5(x＋y)＋6 | (x＋y−2)(x＋y−3) | 置き換え |
| 17 | xy＋x＋y＋1 | (x＋1)(y＋1) | 組み合わせ |
| 18 | x3＋8 | (x＋2)(x2−2x＋4) | 3乗の和 |
| 19 | x3−27 | (x−3)(x2＋3x＋9) | 3乗の差 |
| 20 | x3＋6x2＋12x＋8 | (x＋2)3 | 3乗の展開の逆 |
1〜12が中3と高1の定期テストの範囲、13〜17が数学I、18〜20が数学IIの範囲です。12番のx4−1は、和と差の公式を2回使う問題です。1回で止めた人は、上の「途中でやめる」に当てはまります。
因数分解でつまずいたら
因数分解で手が止まるときは、たいてい1つ前の「展開」が速くできていません。展開の公式を逆に読むのが因数分解なので、展開を10問続けて間違えずに解けるかを先に確かめてください。
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- 因数分解が苦手なら展開ができているか確認
- 展開を10問続けて解けるか先に確かめる
よくある質問
- 因数分解の公式はいくつありますか？
-
文部科学省の学習指導要領解説の区分では、中3で4個、数学Iでたすき掛けの1個、数学IIで3乗の4個の、合わせて9個です。
- 因数分解は何年生で習いますか？
-
中学3年生です。中学校学習指導要領解説では、第3学年の「数と式」で、公式を用いる簡単な式の展開と因数分解を扱うとしています。3乗の公式は高校の数学IIです。
- 因数分解の公式はどうやって覚えますか？
-
展開の公式を逆に読むと覚えます。解説も「因数分解の公式は、一次式の乗法や式の展開の公式の逆」としています。答えを展開すれば元の式に戻るので、確かめにも使えます。
- どの公式を使うか分かりません。
-
まず共通因数をくくり、次に項の数を数えます。2項なら和と差、3項なら和と積か平方、x2の係数が1でなければたすき掛け、4項なら組み合わせです。
- たすき掛けは中学で習いますか？
-
習いません。中学校の解説が扱う展開の公式は4つで、たすき掛けの形は高校の数学Iで扱います。
- a2＋b2は因数分解できますか？
-
実数の範囲の因数分解では、これ以上分解できません。和と差の公式が使えるのは、a2−b2のように引き算の形のときだけです。
- 因数分解は何に使いますか？
-
中3では二次方程式を解くときに使います。解説も、因数分解して一次式の積に変形し、「AB＝0ならばA＝0またはB＝0」を使って解く流れを示しています。
この記事で確認した資料
公式の区分と引用は、次の文部科学省の資料の本文で確認しました。2026年9月23日に開いています。
文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」（PDF）：第3学年 A 数と式（式の展開と因数分解）
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（PDF）：数学I（1）数と式、数学II（1）いろいろな式
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