たすき掛けを一瞬で解く裏技｜因数分解の時短テクニック【高校数学I】

たすき掛けは、隣同士に並ぶ数は必ず互いに素（1以外の共通の約数をもたない）と知っているだけで、試す組み合わせを減らせます。前提は、式全体を先に数字でくくっておくことです。

問題

いきなりですが次の式を因数分解してみてください。

\begin{eqnarray}
6x^2+7x+2
\end{eqnarray}

まずは以下のように準備をすると思います。ここで、掛けて２になるのは2×1しかありませんから、真ん中の列は2と1で確定させました。

ここで迷うこととして掛けて６になるのは 「1×6」「6×1」「2×3」「3×2」の４パターンあります。つまり以下の場合があるわけです。

しかしここでこれから紹介する考え方を使えば２つにまで一瞬で絞ることができます。

たすき掛けは、乗法公式 (ax＋b)(cx＋d)＝acx²＋(ad＋bc)x＋bd を逆向きに使う計算です。文部科学省の学習指導要領解説では、高校の数学Ⅰで新しく扱う乗法公式はこの形だけで、三次の乗法公式は数学Ⅱで扱うとされています（高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編）。

たすき掛けが早くなる考え方

その考え方は…「隣同士に並ぶ数は互いに素」ということです。「互いに素」とは１以外の共通する約数を持たないという意味です。例えば2と5, 6と7, 10と13などが挙げられます。反対に2と6は約数2を持っていますし、3と9も3の約数を持っているので互いに素にはなりません。

そしてたすき掛けにおいて、隣に並ぶ数は必ず互いに素になります。（理由は後述）
ただし前提があります。これは式全体が数字でくくれない状態（＝共通因数を先に外してある）のときの話です。6x²＋10x＋4 のように全体が2でくくれる式では成り立たないので、たすき掛けの前に共通因数を外すのを忘れないでください。

従って先ほどの４つの中から以下の２つはまず除外できるんです。

ですので後は、以下の２つを試したら良いということになりますね。経験上、掛けて6の場合は多くが「2×3」の組み合わせを選ぶと上手くいきます。今回も２つ目のパターンが正解になります。

なぜ隣に並ぶのは互いに素になるのか。

もし以下のパターンで上手くいくとしましょう。

この場合は因数分解の結果はこのようになりますよね。

\begin{eqnarray}
(6x+2)(x+1)
\end{eqnarray}

しかし前半の部分は２でくくることが出来ますよね。因数分解は基本的に共通の因数があれば括り出さなければいけません。そもそもたすき掛けをしたのにさらに数字でくくれるというのは少し変な話になってしまうわけです。

もう少し言及すると、今回６x²+７x+２は２で括れません。なのにも拘らず２×（整数係数の多項式）という形になるのは矛盾してしまうわけです。

ですのでそれ以上共通因数で括ることが出来ないように、隣同士には互いに素である数を並べることになるんです。

たすき掛けの考え方を解説している動画も貼っておきます。

【補足】こうした解法テクニックを覚えても「そもそも数学が苦手で追いつけない」という場合は、独学で悩み続けるより、どこでつまずいているかを先に特定するほうが近道です。塾の選び方全般はオンライン塾の比較記事で解説しています。

塾で教えている「数字を試す順番」

たすき掛けが遅い人は、数字の組み合わせを思いついた順に試していることがほとんどです。実は試す順番には定石があり、これを守るだけで、試す回数を減らせます。

よくあるミス3パターン【現場で見てきた傾向】

塾で採点していて、たすき掛けの間違いは驚くほど同じ3種類に集中します。

ミス①：符号のつけ間違い（最頻）

定数項が正で1次の係数が負のとき、「両方マイナス」にすべきところを片方だけマイナスにするミスです。定数項が正なら2数は同符号、負なら異符号——このルールを唱えてから書き始めるだけで防げます。

ミス②：たすき掛けの「たす」を「かける」でやってしまう

斜めにかけた2つを足すのが1次の係数ですが、ここを掛けてしまう人がいます。慣れないうちは「×して→+する」と口に出しながら書くのが有効です。

ミス③：共通因数を先にくくり出していない

2x²+10x+12 のような式で、いきなりたすき掛けを始めると数字が大きくて苦戦します。先に2でくくって 2(x²+5x+6) にすれば、たすき掛け自体が不要になります（x²の係数が1になるため）。「まず共通因数」は因数分解の絶対的な第一手です。

練習問題【解答つき】

順番に難しくなります。上の「試す順番」を意識して解いてみてください。

自分で解いた因数分解の答え合わせは、途中式つきの自動計算ツールでできます。

検算の習慣をつける

因数分解は展開すれば必ず検算できる唯一の分野です。時間がある試験では必ず展開して元の式に戻るか確認してください。特に1次の項（xの係数）だけ確認すれば、ほとんどのミスは発見できます。5秒で済みます。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

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