数学の「！」（ビックリマーク）の意味は？階乗の読み方・計算方法をわかりやすく解説

みなさん、数学の授業で突然『！』というビックリマークを見て不思議に思ったことはないでしょうか。実はこれ、数学では特別な意味を持っているんです。最初は戸惑うかもしれませんが、慣れると案外簡単に使えます。

どんなレベル帯の方にも楽しんでいただけるように準備していますので、是非最後までご覧ください！

【！】は「階乗（かいじょう）」という

では、数学におけるビックリマークの正体を解き明かしていきます。このビックリマーク「!」は、数学では「階乗（かいじょう）」と呼ばれる概念を表しています。階乗とは、ある正の整数までのすべての整数を掛け合わせたもののことです。

例えば、「５！」と書かれていたら、それは「５の階乗」を意味し、以下のように計算します。

\begin{eqnarray}
&&5!=5×4×3×2×1=120\\
\end{eqnarray}

もう少し例を挙げてみましょう。

\begin{eqnarray}
&&4!= 4×3×2×1=24\\
&&3!= 3×2×1=6\\
&&2!= 2×1=2\\
\end{eqnarray}

お気づきかもしれませんが、階乗は数が大きくなるにつれて急激に値が大きくなります。例えば

\begin{eqnarray}
&&10!= 3628800\\
&&13!= 6227020800\\
\end{eqnarray}

といった具合に爆発的に大きくなっていきます。

階乗はいつ習う？

階乗は高校数学の「数学A」で習い、文理問わず高１で学習します。

【！】を使った練習問題

1. KAIJOU という６文字を並び替えてできる文字の組み合わせは全部で何通りあるか？

例えば、”JAKIOU” “OAIUKJ”などなど…たくさんありますね。こんな考え方をしてみましょう。

箱を全部で６つ用意します。その箱の中にアルファベットを１つずつ入れていくことにします。この時、１番左に入るのはK,A,I,J,O,Uの６通りです。

そして次の箱は、一番左の箱に入ったアルファベット以外なので、５通りあります。

この操作を続けると、以下のようになります。つまり左から、６通り、５通り、４通り、３通り、２通り、１通りとなります。

よって、積の法則より、６×５×４×３×２×１＝７２０通りが答えです。この計算はまさに６！そのものですね。

2. TELEPHONES という１０文字を並び替えてできる文字の組み合わせは全部で何通りあるか？

先ほどと同様の問題ですね。同じ解き方をすると、１０！＝３６２８８００通り　と求められそうですが、１つ落とし穴があります。下図のように、Eはどこにあっても変わらないですよね。

この３つのEがバラバラだったら、３！＝６通りの並べ方が生まれていたはずですが、今回はないため、１０！÷３！＝６０４８００通りが答えです。

100！は末尾に何個の０が並ぶか？

こちらも有名問題です。高校生は必ずマスターしておきたいです。まず問題の意味から、「末尾に何個の０が並ぶか」ということですが、例えば、32000だったら３個。100900だったら２個ですね。この末尾の０の数は何によって決まるでしょうか。

では「１０で何回割れるか」はどうしたら分かるでしょうか。少し考えてみてください。

１０は分解すると２×５となりますよね。つまり１回１０で割れる、ということは２と５を１つずつ持っているということです。１０！の中に含まれる２と５の数ですが、明らかに５の方が少ないですよね。（ピンとこない方は一度素因数分解をしてみるといいですよ！）つまり、１０！は５で何回割れるかを考えたらいいというわけですね。

まとめるとこうなります。

１００は５で何回割れるでしょうか。１００÷５で２０回ですね。つまりここまでで２０個の５があります。
しかし２５（５^２）の倍数は、５で２回割れます。そのような数は １００÷２５＝４個あります。

つまり全部で２０＋４＝２４個の５があるので、末尾には２４個の０が並ぶということが分かりましたね。

入試問題に挑戦！

次の問いに答えよ。
(１) ５！+４！+３！の値を求めよ。
(２) a≧４ のとき、a !＋２は２の累乗になり得ないことを示せ。＜ 2015 鳥取大 ＞

（１）５！+４！+３！＝１２０＋２４＋６＝１５０…（答）

（２）a≧４ のとき、a !＋２＝２^kとなる自然数 k が存在すると仮定する。
　　　a ! ＝ ２^k -２
　　　　 ＝２(２^k-１-１) … ①
ここで、k=１のとき 、a !＝０ となり , a≧４のときこの等式が成り立つことはない。
よって , k≧２を考える。２^k-１-１は奇数であるから , ① の右辺は素因数 2 を 1 個しかもたない。
しかし① の左辺は a≧４のとき素因数 2 を 2 個以上もつ。（４＝２×２であるので）
これは矛盾しているため、仮定が間違っていることになる。
以上よりa≧４ のとき、a !＋２は２の累乗になり得ないことを示すことができた。

いかがでしたでしょうか。階乗は他にもたくさんの場面で入試に出題されます。他の分野と合わせて出ることも多いので、十分に復習しておきましょう。

なぜ階乗は「！」で表すのか？

びっくりマークとしてお馴染みの記号ですが、なぜ階乗でも使うのか調べてみました。

階乗を表す記号「！」は、フランスの数学者Christian Krampによって考案されました。
クランプは研究の中で、階乗を簡単に表すために、ビックリマークを使っていました。
1808年、彼がそれを著書に記したことにより、階乗の記号として世に広まったのです。
ビックリマークを選んだ理由は、階乗がびっくりするくらい大きな数になるから、とも言われています。

NHK高校講座より

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【補足】こうした解法テクニックを覚えても「そもそも数学が苦手で追いつけない」という場合は、独学で悩み続けるより、どこでつまずいているかを先に特定するほうが近道です。塾の選び方全般はオンライン塾の比較記事で解説しています。

階乗の値の早見表【5!までは暗記推奨】

場合の数・確率の問題では、小さい階乗の値が何度も出てきます。5!=120までは覚えてしまうと計算が速くなります。

※6!以降は「前の値×n」で出すのが速いです。

なぜ0! = 1 なのか

「0個を並べる方法が1通りあるのはおかしい」と感じる人が多い部分です。理由は2つの見方で説明できます。

試験では定義として覚えておけば十分です。「0!=0」としてしまう間違いが非常に多いので、そこだけ注意してください。

階乗の計算に強くなるコツ

約分を先にする

場合の数の問題では 10!/8! のような形が頻出します。真面目に10!を計算すると3,628,800になって手に負えませんが、10!/8! = 10×9 = 90 と約分すれば一瞬です。

n!/(n−k)! = n×(n−1)×…×(n−k+1)（k個の積）と覚えておくと、順列 _nP_k の計算がそのまま速くなります。

P（順列）とC（組合せ）の関係

※CはPを「並べ方の分（k!）」で割ったもの、と理解すると公式を覚えなくて済みます。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。