数学の「！」（ビックリマーク）の意味と読み方｜階乗はいつ習う？計算方法も

数学の式に出てくる「！」（ビックリマーク）は、感嘆符ではなく階乗（かいじょう）という計算の記号です。高校で何年生に習うかも、このあとすぐ答えます。

【！】は「階乗（かいじょう）」という

ビックリマーク「!」は、数学では「階乗（かいじょう）」と呼ばれる概念を表しています。階乗とは、ある正の整数までのすべての整数を掛け合わせたもののことです。

例えば、「５！」と書かれていたら、それは「５の階乗」を意味します。計算方法は、その数から1まで順にかけていくだけです。

\begin{eqnarray}
&&5!=5×4×3×2×1=120\\
\end{eqnarray}

もう少し例を挙げてみましょう。

\begin{eqnarray}
&&4!= 4×3×2×1=24\\
&&3!= 3×2×1=6\\
&&2!= 2×1=2\\
\end{eqnarray}

ここまでの例で分かるとおり、階乗は数が大きくなるにつれて急激に値が大きくなります。例えば

\begin{eqnarray}
&&10!= 3628800\\
&&13!= 6227020800\\
\end{eqnarray}

といった具合に爆発的に大きくなっていきます。

「！」の読み方は「エヌの階乗」

n! は「エヌの階乗（かいじょう）」と読みます。5! なら「ごの階乗」。英語では factorial（ファクトリアル）で、「エヌ・ファクトリアル」と読む先生もいます。授業で「びっくり」と読むことはありません。

階乗はいつ習う？何年生・どの科目か

階乗は高校数学の「数学A」の「場合の数と確率」で習います。多くの高校では高1で、文系・理系に分かれる前に学習します。文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編には、数学Aの「場合の数と確率」で扱う用語・記号として「nPr，nCr，階乗，n!，排反」が明記されています。

【！】を使った練習問題

1. KAIJOU という６文字を並び替えてできる文字の組み合わせは全部で何通りあるか？

例えば、”JAKIOU” “OAIUKJ”などなど…たくさんありますね。こんな考え方をしてみましょう。

箱を全部で６つ用意します。その箱の中にアルファベットを１つずつ入れていくことにします。この時、１番左に入るのはK,A,I,J,O,Uの６通りです。

そして次の箱は、一番左の箱に入ったアルファベット以外なので、５通りあります。

この操作を続けると、以下のようになります。つまり左から、６通り、５通り、４通り、３通り、２通り、１通りとなります。

よって、積の法則より、６×５×４×３×２×１＝７２０通りが答えです。この計算はまさに６！そのものですね。

2. TELEPHONES という１０文字を並び替えてできる文字の組み合わせは全部で何通りあるか？

先ほどと同様の問題ですね。同じ解き方をすると、１０！＝３６２８８００通り　と求められそうですが、１つ落とし穴があります。下図のように、Eはどこにあっても変わらないですよね。

この３つのEがバラバラだったら、３！＝６通りの並べ方が生まれていたはずですが、今回はないため、１０！÷３！＝６０４８００通りが答えです。

100！は末尾に何個の０が並ぶか？

こちらも有名問題です。高校生は必ずマスターしておきたいです。まず問題の意味から、「末尾に何個の０が並ぶか」ということですが、例えば、32000だったら３個。100900だったら２個ですね。この末尾の０の数は何によって決まるでしょうか。

では「１０で何回割れるか」はどうしたら分かるでしょうか。少し考えてみてください。

１０は分解すると２×５となりますよね。つまり１回１０で割れる、ということは２と５を１つずつ持っているということです。１０！の中に含まれる２と５の数ですが、明らかに５の方が少ないですよね。（ピンとこない方は一度素因数分解をしてみるといいですよ！）つまり、１０！は５で何回割れるかを考えたらいいというわけですね。

まとめるとこうなります。

１００は５で何回割れるでしょうか。１００÷５で２０回ですね。つまりここまでで２０個の５があります。
しかし２５（５^２）の倍数は、５で２回割れます。そのような数は １００÷２５＝４個あります。

つまり全部で２０＋４＝２４個の５があるので、末尾には２４個の０が並ぶということが分かりましたね。

入試問題に挑戦！

次の問いに答えよ。
(１) ５！+４！+３！の値を求めよ。
(２) a≧４ のとき、a !＋２は２の累乗になり得ないことを示せ。＜ 2015 鳥取大 ＞

（１）５！+４！+３！＝１２０＋２４＋６＝１５０…（答）

（２）a≧４ のとき、a !＋２＝２^kとなる自然数 k が存在すると仮定する。
　　　a ! ＝ ２^k -２
　　　　 ＝２(２^k-１-１) … ①
ここで、k=１のとき 、a !＝０ となり , a≧４のときこの等式が成り立つことはない。
よって , k≧２を考える。２^k-１-１は奇数であるから , ① の右辺は素因数 2 を 1 個しかもたない。
しかし① の左辺は a≧４のとき素因数 2 を 2 個以上もつ。（４＝２×２であるので）
これは矛盾しているため、仮定が間違っていることになる。
以上よりa≧４ のとき、a !＋２は２の累乗になり得ないことを示すことができた。

いかがでしたでしょうか。階乗は他にもたくさんの場面で入試に出題されます。他の分野と合わせて出ることも多いので、十分に復習しておきましょう。

なぜ階乗は「！」で表すのか？

ふだんは感嘆符として使う記号を、なぜ階乗に使うのか。由来は次のとおりです。

階乗を表す記号「！」は、フランスの数学者Christian Krampによって考案されました。
クランプは研究の中で、階乗を簡単に表すために、ビックリマークを使っていました。
1808年、彼がそれを著書に記したことにより、階乗の記号として世に広まったのです。
ビックリマークを選んだ理由は、階乗がびっくりするくらい大きな数になるから、とも言われています。

NHK高校講座より

【補足】こうした解法テクニックを覚えても「そもそも数学が苦手で追いつけない」という場合は、独学で悩み続けるより、どこでつまずいているかを先に特定するほうが近道です。塾の選び方全般はオンライン塾の比較記事で解説しています。

階乗の値の早見表【5!までは暗記推奨】

場合の数・確率の問題では、小さい階乗の値が何度も出てきます。5!=120までは覚えてしまうと計算が速くなります。

※6!以降は「前の値×n」で出すのが速いです。

なぜ0! = 1 なのか

「0個を並べる方法が1通りあるのはおかしい」と感じる人が多い部分です。理由は2つの見方で説明できます。

試験では定義として覚えておけば十分です。「0!=0」としてしまう間違いが非常に多いので、そこだけ注意してください。

階乗の計算に強くなるコツ

約分を先にする

場合の数の問題では 10!/8! のような形が頻出します。真面目に10!を計算すると3,628,800になって手に負えませんが、10!/8! = 10×9 = 90 と約分すれば一瞬です。

n!/(n−k)! = n×(n−1)×…×(n−k+1)（k個の積）と覚えておくと、順列 _nP_k の計算がそのまま速くなります。

P（順列）とC（組合せ）の関係

※CはPを「並べ方の分（k!）」で割ったもの、と理解すると公式を覚えなくて済みます。

数学の「！」に関するよくある質問

この記事で確認した資料

階乗をどの科目で習うかは、文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編（数学A「場合の数と確率」の用語・記号）で確認しました。記号「!」の由来はNHK高校講座の記述によります（2026年9月13日確認）。

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

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