今回解説する問題はこちらです。重要な問題ですので、「数学Aの整数」を習った方は是非１度チャレンジしてみましょう。
整数問題の中では、比較的有名で、いろいろな解法があります。過去に熊本大学や弘前大学での出題もされています。今回はこの問題を３通りの方法で解説します。
解法１：５で割った余りに注目して解く方法
\begin{eqnarray}
n^5-n&=&n(n^4-1)\\
&=&n(n^2-1)(n^2+1)\\
&=&n(n-1)(n+1)(n^2+1)
\end{eqnarray}
ここで、n(n-1)(n+1)は連続する３つの自然数になるので、この３つの中に必ず１つは２の倍数、３の倍数が存在します。したがってn(n-1)(n+1)は６の倍数となりますので、あとは（n2+1）が５の倍数になることを言えれば良いですね。
（１）nが５の倍数、つまりn=５k (以下、kは自然数)の時
n(n-1)(n+1)が５の倍数かつ６の倍数で３０の倍数となる。
（２）nが５で割って１余る数、つまりn=５k＋１の時
n-1=5k となり、n(n-1)(n+1)が５の倍数かつ６の倍数で３０の倍数となる。
（３）nが５で割って２余る数、つまりn=５k＋２ の時
\begin{eqnarray}
&&n^2+1=(5k+2)^2+1\\
&=&25k^2+20k+4+1\\
&=&25k^2+20k+5\\
&=&5(5k^2+4k+1)
\end{eqnarray}
ここでkは自然数ですので、５k２+４k+１も自然数となります。したがって、５(５k２＋４k＋１)は５の倍数ですから、n２+１は５の倍数となり、n(n−１)(n＋１)(n２＋１)は３０の倍数になります。
（４）nが５で割って３余る数、つまりn=５k＋３ の時
\begin{eqnarray}
&&n^2+1\\
&=&(5k+3)^2+1\\
&=&25k^2+30k+9+1\\
&=&25k^2+30k+10\\
&=&5(5k^2+6k+2)
\end{eqnarray}
ここでkは自然数ですので、５k２+６k+２も自然数となります。したがって、５(５k２＋６k＋２)は５の倍数ですから、n２+１は５の倍数となり、n(n−１)(n＋１)(n２＋１)は３０の倍数になります。
（５）nが５で割って４余る数、つまりn=５k＋４ の時
n＋１=５k＋５＝５(k＋１) となり、k＋１が自然数であることから、n(nー1)(n＋1)が５の倍数かつ６の倍数で３０の倍数となる。
以上よりnがどんな自然数であっても、ｎ5-ｎは３０の倍数であることを示せました。
解法２：うまく式を変形して導く方法
\begin{eqnarray}
&&n^5-n\\
&=&n(n^4-1)\\
&=&n(n^2-1)(n^2+1)\\
&=&n(n-1)(n+1)[(n+2)(n-2)+5]\\
&=&n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)+5n(n-1)(n+1)
\end{eqnarray}
ここで、前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)は、(n-2)(n-1)n(n-1)(n+2)と並び替えることで、連続する５つの自然数の積とわかり、５の倍数といえます。
また、後半の５n(nー１)(n＋１)は明らかに5の倍数です。したがって、n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)+5n(n-1)(n+1)は5の倍数といえます。
さらに前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)と、後半の５n(n-１)(n-２)はどちらも連続する３つの自然数の積を含みますので６の倍数になることから、５の倍数かつ６の倍数ということで、全体のｎ5-ｎは３０の倍数であることを示せます。
\begin{eqnarray}
&&n^5-n\\
&=&n(n^4-1)\\
&=&n(n^2-1)(n^2+1)\\
&=&n(n-1)(n+1)[(n+2)(n-2)+5]\\
&=&n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)\\
&&+5n(n-1)(n+1)
\end{eqnarray}
ここで、前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)は、(n-2)(n-1)n(n-1)(n+2)と並び替えることで、連続する５つの自然数の積とわかり、５の倍数といえます。
また、後半の５n(nー１)(n＋１)は明らかに5の倍数です。したがって、n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)+5n(n-1)(n+1)は5の倍数といえます。
さらに前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)と、後半の５n(n-１)(n-２)はどちらも連続する３つの自然数の積を含みますので６の倍数になることから、５の倍数かつ６の倍数ということで、全体のｎ5-ｎは３０の倍数であることを示せます。
解法３：数学的帰納法を使って解く方法（数学B）
（１）n=1のとき
\begin{eqnarray}
n^5-n=1^5-1=0
\end{eqnarray}
より０は３０の倍数であるから成立する。
（２）n=kの時、ｎ5-ｎは３０の倍数であることを仮定すると、k5-k=３０m(mは自然数)と表せる。
ここでn=k+１の時を考えると、
\begin{eqnarray}
&&(k+1)^5ー(k＋1)\\
&=& k^5＋5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k＋1-k-1\\
&=&(k^5-k)+(5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k)\\
&=&30m+5k(k^3＋2k^2＋2k＋1)\\
&=&30m+5k(k+1)(k^2+k+1)\\
&=&30m+5k(k+1)\{(k^2+2k)-(k-1)\}\\
&=&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}
ここでk,k+1,k+2及び、(k-1),k,(k+1)は連続する３つの自然数であるので、いずれも６の倍数となるので、
\begin{eqnarray}
&&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}
は３０の倍数と言える。
よって、n=k+１の時も成立する。
（１）（２）より全ての自然数で成り立つことが証明された。
（１）n=1のとき
\begin{eqnarray}
n^5-n=1^5-1=0
\end{eqnarray}
より０は３０の倍数であるから成立する。
（２）n=kの時、ｎ5-ｎは３０の倍数であることを仮定すると、k5-k=３０m(mは自然数)と表せる。
ここでn=k+１の時を考えると、
\begin{eqnarray}
&&(k+1)^5ー(k＋1)\\
&=& k^5＋5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k＋1\\
&&-k-1\\
&=&(k^5-k)+(5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k)\\
&=&30m+5k(k^3＋2k^2＋2k＋1)\\
&=&30m+5k(k+1)(k^2+k+1)\\
&=&30m+5k(k+1)\{(k^2+2k)\\
&&-(k-1)\}\\
&=&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)\\
&&-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}
ここでk,k+1,k+2及び、(k-1),k,(k+1)は連続する３つの自然数であるので、いずれも６の倍数となるので、
\begin{eqnarray}
&&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)\\
&&-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}
は３０の倍数と言える。
よって、n=k+１の時も成立する。
（１）（２）より全ての自然数で成り立つことが証明された。
今回の記事は以上になります。
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