n^5−nが30の倍数であることの証明｜3通りの解法で解説

\begin{eqnarray}
&&n^5-n\\
&=&n(n^4-1)\\
&=&n(n^2-1)(n^2+1)\\
&=&n(n-1)(n+1)[(n+2)(n-2)+5]\\
&=&n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)\\
&&+5n(n-1)(n+1)
\end{eqnarray}

ここで、前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)は、(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)と並び替えることで、連続する５つの自然数の積とわかり、５の倍数といえます。

また、後半の５n(nー１)(n＋１)は明らかに5の倍数です。したがって、n(n-1)(n+1)(n+2)(n-2)+5n(n-1)(n+1)は5の倍数といえます。

さらに前半のn(n-1)(n＋1)(n＋2)(n−2)と、後半の５n(n-１)(n＋１)はどちらも連続する３つの自然数の積を含みますので６の倍数になることから、５の倍数かつ６の倍数ということで、全体のｎ⁵-ｎは３０の倍数であることを示せます。

（１）n=1のとき

\begin{eqnarray}
n^5-n=1^5-1=0
\end{eqnarray}

より０は３０の倍数であるから成立する。

（２）n=kの時、ｎ⁵-ｎは３０の倍数であることを仮定すると、k⁵-k=３０m(mは0以上の整数)と表せる。
ここでn=k+１の時を考えると、

\begin{eqnarray}
&&(k+1)^5ー(k＋1)\\
&=& k^5＋5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k＋1\\
&&-k-1\\
&=&(k^5-k)+(5k^4＋10k^3＋10k^2＋5k)\\
&=&30m+5k(k^3＋2k^2＋2k＋1)\\
&=&30m+5k(k+1)(k^2+k+1)\\
&=&30m+5k(k+1)\{(k^2+2k)\\
&&-(k-1)\}\\
&=&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)\\
&&-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}

ここで k, k+1, k+2 および (k-1), k, k+1 はいずれも連続する3つの整数なので、その積は6の倍数です（k=1のとき k-1=0 となりますが、0も6の倍数なので問題ありません）。したがって、

\begin{eqnarray}
&&30m+5\{k^2(k+1)(k+2)\\
&&-(k-1)k(k+1)\}\\
\end{eqnarray}

は３０の倍数と言える。

よって、n=k+１の時も成立する。

（１）（２）より全ての自然数で成り立つことが証明された。