数学の公式一覧｜中学・高校で本当に覚える公式と、導ける公式の分け方

数学の公式は、数が多いから覚えられないのではありません。覚える公式と、その場で導く公式を分けていないから、全部を暗記対象にしてしまって崩れます。

この記事では、中学と高校の公式を学年・科目ごとに並べたうえで、分野ごとに「元の1本」だけを覚え、残りはそこから出すという持ち方を示します。公式一覧としても使えますが、狙いは覚える量を減らすことです。

結論：分野ごとに「元の1本」だけを覚える

数学の公式は、分野ごとに親が1本あって、他はその変形です。親を書けるようにしておけば、忘れても現場で作り直せます。

分野	覚える「元の1本」	そこから出るもの
展開・因数分解	(a+b)² = a²+2ab+b²	(a−b)²、(a+b)(a−b)=a²−b²、(a+b)³
二次方程式	平方完成（a(x−p)²+q の形に直す）	解の公式 x = (−b±√(b²−4ac))/2a、判別式 D = b²−4ac
図形の長さ	三平方の定理 a²+b² = c²	2点間の距離、円の方程式 (x−a)²+(y−b)² = r²
三角比	sin²θ+cos²θ = 1	tanθ = sinθ/cosθ、1+tan²θ = 1/cos²θ
三角関数	加法定理 sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ	2倍角、半角、三角関数の合成
数列	等差 aₙ = a+(n−1)d ／ 等比 aₙ = arⁿ⁻¹	和の公式、Σの公式
微分	定義 f′(x) = lim(f(x+h)−f(x))/h	(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹、積・商の微分
確率	確率 = あてはまる場合の数 ÷ 全体の場合の数	余事象、条件付き確率、期待値

中学数学の公式一覧（中1〜中3）

中学は範囲が狭いので、ここは素直に覚えてしまってかまいません。ただし図形の体積と相似だけは、意味を持たずに覚えると必ず混ざります。

学年	単元	公式
中1	比例・反比例	y = ax ／ y = a/x
中1	円	円周 = 2πr ／ 面積 = πr²
中1	立体	柱の体積 = 底面積×高さ ／ 錐の体積 = 底面積×高さ÷3
中1	球	表面積 = 4πr² ／ 体積 = 4πr³÷3
中2	一次関数	y = ax+b ／ 傾き a = yの増加量 ÷ xの増加量
中2	角	n角形の内角の和 = 180×(n−2) ／ 外角の和 = 360
中3	展開・因数分解	(a+b)² = a²+2ab+b² ／ (a+b)(a−b) = a²−b²
中3	二次方程式	x = (−b±√(b²−4ac))/2a
中3	関数	y = ax² ／ 変化の割合 = a(p+q)
中3	相似	面積比 = 相似比の2乗 ／ 体積比 = 相似比の3乗
中3	三平方の定理	a²+b² = c²（直角をはさむ2辺と斜辺）
中3	円周角	円周角 = 中心角÷2

高校数学の公式一覧：数学I・数学A

高校に入ると、公式に使ってよい条件が付きます。式だけ覚えて条件を落とすと、答案が途中で破綻します。

数学I

単元	公式	使う条件・注意
二次関数	y = a(x−p)²+q（平方完成）	頂点 (p, q)。最大最小はここから読む
二次方程式	D = b²−4ac	D>0 で異なる2つの実数解、D=0 で重解、D<0 で実数解なし
三角比	sin²θ+cos²θ = 1	θの範囲で符号が決まる。範囲を先に書く
正弦定理	a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R	向かい合う辺と角がそろっているとき
余弦定理	a² = b²+c²−2bc·cosA	2辺とはさむ角、または3辺が分かるとき
三角形の面積	S = (1/2)bc·sinA	2辺とはさむ角。高さが不明でも出せる
データ	分散 = (偏差の2乗)の平均 ／ 標準偏差 = √分散	単位をそろえるのは標準偏差

数学A

単元	公式	使う条件・注意
順列	nPr = n!/(n−r)!	並べる順番を区別するとき
組合せ	nCr = n!/(r!(n−r)!)	選ぶだけで順番を区別しないとき
確率の和	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)	同時に起こる場合を引く
余事象	P(A) = 1−P(Aでない)	「少なくとも1つ」はこちらが速い
条件付き確率	P(B|A) = P(A∩B)/P(A)	分母が全体ではなくAになる
方べきの定理	PA·PB = PC·PD	円と2本の直線が交わるとき
整数	ユークリッドの互除法	最大公約数を割り算の繰り返しで出す

高校数学の公式一覧：数学II・数学B・数学C

数学II

数学B・数学C

科目	単元	公式
数学B	数列	等差 aₙ = a+(n−1)d ／ 和 Sₙ = n(a+l)/2
数学B	数列	等比 aₙ = arⁿ⁻¹ ／ 和 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)（r≠1）
数学B	数列	Σk = n(n+1)/2 ／ Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
数学B	統計的な推測	期待値 E(X) = Σ(値×確率) ／ 分散 V(X) = E(X²)−{E(X)}²
数学C	ベクトル	内積 a·b = |a||b|cosθ ／ 成分では a₁b₁+a₂b₂
数学C	ベクトル	垂直なら内積 = 0 ／ 平行なら実数倍で書ける
数学C	複素数平面	ド・モアブルの定理 (cosθ+i·sinθ)ⁿ = cos(nθ)+i·sin(nθ)

数学Bの「統計的な推測」と数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」は、平成30年告示の学習指導要領で今の並びになりました。手元の参考書が古いと、単元の場所がずれていることがあります。

公式は「知っている」だけで足りるか｜全国学力調査で、変化の割合を使う問題の正答率は35.4%

中学の公式を「覚えた」子は、どのくらい「使えて」いるのでしょうか。

国立教育政策研究所は、令和7年度全国学力・学習状況調査（中学3年生・4月17日実施）の数学の問題ごとの正答率を Excel で公表しています。

2026年10月26日にファイルを開き、この記事の公式に直接かかわる設問を取り出しました。対象は全国の国公私立の生徒896,785人、全15問です。

設問	問われたこと（要約）	正答率	無解答率
1	1から9までの数の中から素数を全て選ぶ	32.2%	0.7%
2	果汁40%の飲み物 a mL に含まれる果汁の量を、a を使った式で表す	52.7%	7.1%
3	△ABCで∠Aが50°のとき、頂点Aにおける外角の大きさを求める	58.3%	1.9%
4	一次関数 y＝6x＋5 で、x の増加量が2のときの y の増加量を求める	35.4%	7.9%
5	度数分布表（生徒40人）から、20m以上25m未満の階級の相対度数を求める	43.1%	9.2%
6（2）	3n と 3n＋3 の和を 2(3n＋1)＋1 と表した式から、和がどんな数かを説明する	26.4%	24.5%

設問4は、この記事の中学2年の表にある「傾き a ＝ y の増加量 ÷ x の増加量」をそのまま使う問題です。

式 y＝6x＋5 の6が変化の割合なので、答えは 6 × 2 ＝ 12 と計算できます。それでも正答率は35.4%でした。

外角（58.3%）より、20ポイント以上低い値です。公式を知っているかどうかより、式のどこが何を表すかを読めるかで差がついた、と見るのが自然です。

区分（全15問）	対象問題数	平均正答率
知識・技能	9問	54.8%
思考・判断・表現	6問	39.7%
A 数と式	5問	44.1%
B 図形	4問	47.0%
C 関数	3問	48.8%
D データの活用	3問	59.0%
全体	15問	48.8%

「知識・技能」（9問）と、理由を説明する場面を含む「思考・判断・表現」（6問）の間にも、15.1ポイントの開きがあります。

次に、同じ調査の質問紙で、「文字式を用いた説明や図形の証明を読んで、かかれていることを理解することができますか」と答えた生徒の数学の平均正答率を、クロス集計表から取りました。

回答	説明や証明を読んで理解できる（割合）	数学の平均正答率	考えを説明する授業活動をよく行う（割合）	数学の平均正答率
当てはまる	28.0%	67.9%	21.3%	60.6%
どちらかといえば当てはまる	39.4%	50.4%	37.3%	51.3%
どちらかといえば当てはまらない	21.7%	33.5%	28.2%	44.0%
当てはまらない	10.1%	24.8%	12.4%	34.3%

読み方は2つです。1つ目は、公式の式だけ書ける状態と、問題の中で使える状態は別だということです。

設問5の相対度数も、「度数 ÷ 全体の数」を知っていれば解けますが、正答率は43.1%で、答えを書かなかった人も9.2%いました。

2つ目は、式や証明を読んで理解できると答えた生徒の方が、数学の平均正答率が43.1ポイント高いことです。

この記事で「元の1本から導く」「文字と図を結び付ける」と勧める理由と、向きは合っています。

令和8年度（2026年4月23日実施）の結果も出ています。上の表は令和7年度の値です。

令和8年度の全国学力・学習状況調査（数学は16問、対象の生徒は国公私立）の質問紙では、同じ内容が「1、2年生のときに受けた授業では」と聞き方が変わっています（質問(66)(67)）。

国立教育政策研究所のクロス集計表から、令和8年度の値を並べます（クロス集計表 26m_424.xlsx・2026年10月26日確認）。

回答	授業で文字式の説明や証明を読んで理解できた（割合）	数学の平均正答率	考えを説明する活動をよく行った（割合）	数学の平均正答率
当てはまる	31.2%	73.4%	24.2%	66.9%
どちらかといえば当てはまる	37.5%	59.4%	36.3%	59.6%
どちらかといえば当てはまらない	20.5%	43.1%	26.8%	53.5%
当てはまらない	10.0%	33.3%	11.9%	43.7%

令和8年度も向きは同じです。

「理解できた」の上と下の差は 73.4 − 33.3 ＝ 40.1（ポイント）（令和7年度は43.1）、説明する活動の差は 66.9 − 43.7 ＝ 23.2（ポイント）（令和7年度は26.3）で、計算するとどちらも令和7年度よりやや小さくなりました。

ただし、令和8年度は数学が16問で、質問も「1、2年生のときの授業」の聞き方です。

年度をまたいだ増減ではなく、「どちらの年度も、理解できた子ほど高い」という関係として読んでください。

この調査は中学3年生の4月の結果で、公式の暗記量や勉強法は調べていません。「理解できる」は生徒本人の自己評価で、数学が得意な子ほどそう答えやすい、という逆向きの関係も含まれます。因果は示せません。また、資料ごとに対象の人数が違い（問題別調査結果896,785人、回答結果集計904,413人、クロス集計表900,313人）、同じ質問でも小数第1位が1ずれることがあります（質問(20)の「両方」は23.1%と23.2%）。この節の値は、問題別は問題別調査結果、質問との組み合わせはクロス集計表のセルをそのまま使いました。

出典：国立教育政策研究所「令和7年度全国学力・学習状況調査 問題別調査結果［数学］全国－生徒（国・公・私立）」(Excel)／同「クロス集計表［生徒質問－教科］」質問(58)・(59)のシート(Excel)／同「回答結果集計［生徒質問］」(Excel)／同 調査結果資料（中学校）一覧（2026年10月26日確認）

公式が覚えられない3つの原因と、その直し方

原因	出る症状	直し方
文字が何を指すか持っていない	余弦定理の a・b・c がどの辺か言えない	図に必ず記号を書き込む。文字と図が結び付くまで式を使わない
使う条件を覚えていない	正弦定理と余弦定理のどちらを使うか毎回迷う	「与えられた情報 → 使う公式」の索引を自分で1枚作る
一度も導いたことがない	忘れたら手が止まる。思い出すしかない	元の1本から紙に出す作業を1回だけやる。2回目からは思い出せる

公式を導ける形にする勉強の順番

順番を間違えると、演習量を増やしても定着しません。次の並びで進めてください。

順番	やること	終わりの目安
1	分野の「元の1本」を、何も見ずに書く	1分以内に書けたら次へ
2	派生の公式を、元の1本から紙の上で導く	導出の途中式が書けたら次へ
3	「与えられた情報 → 使う公式」の索引を作る	問題文を読んだ瞬間に候補が2つ以内に絞れたら次へ
4	時間を計って解く	条件の書き落としが消えたら仕上がり

中学範囲で、公式そのものより速く解くための道具を足したい場合は、高校入試向けにまとめた記事があります。

同じ考え方で物理の公式を整理した記事と、高校数学を無料で学べるサイトのまとめも置いておきます。

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よくある質問

三平方の定理は「導ける公式」の代表です。証明をどこまでやれば足りるかは、学習指導要領の原文で確認できます。

三平方の定理は「覚える公式」の代表です。実際の計算で√の整理まで手を動かすなら、こちらの計算ツールで途中式ごと確かめられます。

公式一覧の数学Aの表にある条件付き確率 P(B|A)＝P(A∩B)/P(A) は、問題文の言い回しで分母を決める方法と8つの例題で別の記事にまとめています。

数学Aの確率の公式（余事象・独立な試行・反復試行・期待値）を、どの問題で使うかは10の例題で別の記事にまとめています。

続けて読む：メネラウスの定理の覚え方と証明／チェバの定理の覚え方と証明

この記事で確認した公式ページ

中学・高校の数学で扱う単元の範囲は、文部科学省の学習指導要領とその解説に基づいています（2026年9月7日に本文を確認）。公式そのものの表記は教科書の標準形にそろえました。

文部科学省「中学校学習指導要領解説」（数学編）

文部科学省「高等学校学習指導要領解説」（数学編 理数編）