高校入試の数学 公式・裏ワザ10選｜計算が速くなる中学数学の解き方

高校入試の数学で、計算の時間を縮められる公式・裏ワザを10個まとめました。どれも中学校で習う範囲の内容で、例題の数値はすべて検算しています。

中学数学の公式・裏技一覧【10個の早見表】

裏ワザ	公式	実用度
1. 2次関数の変化の割合	y＝ax²で x が p→q のとき a(p＋q)	★★★★★
2. 2次関数と直線の交点を通る直線	y＝a(x₁＋x₂)x－ax₁x₂	★★★★
3. 分数＝分数	b/a＝d/c なら ad＝bc	★★★★★
4. 最小公倍数と最大公約数	ab＝LG	★★
5. 正三角形の面積	√3/4×a²	★★★★
6. 正四面体の体積	√2/12×a³	★★★
7. 相似（平行線にはさまれた長さ）	ab/(a＋b)	★★
8. 1の位が5の数の2乗	◯5²＝◯×(◯＋1)の後ろに25	★★★★★
9. 円錐の側面積・表面積	側面積 πar、表面積 (a＋r)rπ	★★★★★
10. おうぎ形の中心角・面積	中心角＝半径/母線×360、面積＝1/2×母線×弧	★★★★★

実用度は、塾で高校受験の指導をしてきた経験から付けた目安です。それぞれの使い方と例題は、下の見出しで1つずつ説明します。

１.２次関数の変化の割合　実用度 ★★★★★

二次関数の変化の割合は下の式で求められます。

２.２次関数と直線の交点を通る直線　実用度 ★★★★

定期テストや受験でよく問われる問題ですね。通常だったら変化の割合や連立方程式が必要になる問題ですが…？
こんな式で一発で求めることができます。文字にすると難しく感じますが、数字で試してみると案外簡単に求められますよ。

３. 分数＝分数の計算方法　実用度 ★★★★★

計算をしている中で 分数＝分数 の計算が出てきてどうしようと思った経験はありませんか？今日から以下の方法を使ってみてください！とても簡単に求められるようになりますよ。

４. 最小公倍数と最大公約数　実用度 ★★

中学校の段階ではあまり知られていませんが、知っていると得する、痒いところに手が届く裏技です。

５. 正三角形の面積　実用度 ★★★★

平面図形、空間図形で問われることがある正三角形の面積。これは三平方の定理を使い求めますが、ちょっと時間が掛かります。以下の式を覚えておくといいですよ。もちろん検算としても役立ちます。

６. 正四面体の体積　実用度 ★★★

正三角形の面積と同じシリーズです。こちらは「体積」なので混同しないでください。合わせて覚えておくといいでしょう。

７. 相似を利用した問題　実用度 ★★

定期テストでもよく出題される問題。１度は解いたことがある受験生は多いでしょう。通常なら相似の性質を２箇所で使用することになります。少々難しい問題ですが、裏技で簡単に解くことができます。

ただし正攻法も経験して解けるようにしておいてくださいね。

８. １の位が５の平方　実用度 ★★★★★

１５、２５、８５など、１の位が５である数の２乗は簡単に暗算できます。使う頻度が非常に多いので、これを機にぜひ覚えてください。

９. 円錐の側面積、表面積　実用度 ★★★★★

となります。本来なら展開図を描いておうぎ形の面積を求めて…と手順が多いです。しかし上記の公式を使えば一瞬で求めることができますよ！

１０. おうぎ形の中心角、面積　実用度 ★★★★★

続いてはおうぎ形の紹介です！

【補足】こうした解法テクニックを覚えても「そもそも数学が苦手で追いつけない」という場合は、独学で悩み続けるより、どこでつまずいているかを先に特定するほうが近道です。塾の選び方全般はオンライン塾の比較記事で解説しています。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

裏ワザを使う前に確認すべきこと【塾長からの注意】

計算の裏ワザは強力ですが、使い方を間違えると逆に失点します。塾で必ず伝えている注意点です。

自分だけでは基礎の穴が埋まらないと感じたときは、塾に頼る方法もあります。中学生の塾を選ぶ基準は、中学生の塾の選び方にまとめました。

公式・定理の総復習には、一問一答も使えます。

公式・定理をまとめて確認できる一問一答も用意しています。

裏技を使う前に、基本の計算が固まっているかを50問で確認できます。

高校数学の実戦50問もあります。

裏技で稼げるのは計算問題の時間であって、合否を決めるのは内申点との合計です。公立高校は当日点と内申点の両方で決まるので、点の取り方と並行して内申の作り方も見ておいてください。

高校受験の数学で裏ワザが使える場面・使えない場面

同じ裏ワザでも、答案の形式によって使ってよいかが変わります。高校受験の数学でよくある形式ごとにまとめました。

答案の形式	裏ワザ	理由
答えだけを書く問題	使える	途中の式を見られないので、時短がそのまま点になる
マーク式・選択式	使える	計算量を減らせる分、見直しの時間が取れる
途中式を書く記述式	そのままは使わない	裏ワザの式だけだと減点されることがある
正攻法で解いたあと	検算に使う	別の方法で同じ答えになれば、ミスに気づける

公立高校の入試では、大問の途中で「求め方も書きなさい」と指示される問題があります。その場合は正攻法で式を書き、裏ワザは答えが合っているかの確認に回してください。

高校入試で使える高校数学の公式5つ｜習う科目を学習指導要領で確かめた

高校で習う公式のうち、高校入試の問題の答え合わせに使えるものを5つ選びました。習う科目は、文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編で確かめています。

公式	高校で習う科目	高校入試での使いどころ	例（中学のやり方と同じ答えになるか）
解と係数の関係 （2つの解の和と積）	数学Ⅱ「いろいろな式」	2次方程式の解の検算	x²−7x＋12＝0 の解は3と4。和3＋4＝7、積3×4＝12で、係数の7と12に一致する
余弦定理	数学Ⅰ「図形と計量」	2辺と間の角が60°の三角形の、残りの辺	2辺が5と8で間の角が60°なら、√(25＋64−40)＝√49＝7。垂線を下ろして三平方の定理で解いても7になる
2辺と間の角から三角形の面積 （½×a×b×sinC）	数学Ⅰ「図形と計量」（解説に「取り扱うことも考えられる」とある）	60°や45°を含む三角形の面積	2辺が6と8で間の角が60°なら、½×6×8×(√3/2)＝12√3。高さ4√3を出して½×6×4√3としても12√3
線分を内分する点の座標	数学Ⅱ「図形と方程式」	関数の問題で、線分を1:2などに分ける点	A(−2, 1)、B(4, 7)を1:2に分ける点は、x＝(2×(−2)＋4)÷3＝0、y＝(2×1＋7)÷3＝3で(0, 3)
点と直線の距離	数学Ⅱ「図形と方程式」（解説に「考察したり…することも考えられる」とある）	原点から直線までの高さ	原点と直線3x＋4y−20＝0の距離は、|−20|÷5＝4。x軸・y軸との交点から面積を出し、斜辺25/3で割り戻しても4

この記事の2番の裏ワザ y＝a(p＋q)x−apq は、1つ目の解と係数の関係から出てくる式です。y＝ax² と直線 y＝mx＋n の交点の x 座標 p と q は、ax²−mx−n＝0 の2つの解です。和が p＋q＝m/a、積が pq＝−n/a なので、m＝a(p＋q)、n＝−apq になります。

2番の例題 y＝3x² でも確かめられます。3x²＝6x＋9 を整理すると x²−2x−3＝0 で、解は−1と3です。和は2、積は−3で、6÷3＝2、−9÷3＝−3 と一致します。

5つとも中学校の学習指導要領解説 数学編には出てきません。途中式を書く問題では中学のやり方で式を書き、高校の公式は答えの確かめに使ってください。

出典：文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅰ (2)図形と計量、数学Ⅱ (1)いろいろな式・(2)図形と方程式）／文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」（2026年10月14日確認）。計算例は当サイトで作った数で、答えは2通りの解き方で確かめた

全国の中3は「書く問題」で落としている｜全国学力調査の数学

裏ワザが効くのは答えだけを書く問題です。どの形式で点を落としているかは、国立教育政策研究所の令和7年度全国学力・学習状況調査（中学3年生・数学15問）の結果で確かめられます。

問題形式	問題数	平均正答率
選択式	3問	54.4%
短答式（答えだけ書く）	7問	52.5%
記述式（説明や証明を書く）	5問	40.2%

最後の問題は「変化の割合」の意味を問う問題でした。この記事の1番の裏ワザ a(p＋q) は y＝ax² の変化の割合の式で、一次関数では使いません。一次関数の変化の割合は、x の値に関係なく傾き a のままです。

出典：国立教育政策研究所「令和7年度全国学力・学習状況調査 問題別調査結果（中学校 数学）」（2026年10月13日確認）

よくある質問

続けて読む：三平方の定理の計算ツール

この記事で確認した資料

ここで扱った公式（変化の割合・平方根・相似・円錐やおうぎ形の計量）が中学校の数学で学ぶ範囲であることは、文部科学省の中学校学習指導要領解説 数学編で確認しました。裏ワザの実用度は、塾で高校受験の指導をしてきた経験に基づく評価です（2026年9月13日確認）。

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」