メネラウスの定理の覚え方と証明｜いつ習う？チェバとの違いも

多くの方が高校１年生で学習する“メネラウスの定理”。同時期に習うチェバの定理とも相まって、図形問題が一気に難しく感じますよね。というのも筆者もその一人でした。しかし高校の時に学んだある覚え方をすることで、それ以降簡単に解けるようになりましたので、今回の記事ではそれらを全て解説します！

この記事を最後まで見れば、数学が苦手な方でもメネラウスの定理の使い方が分かるようになります！

メネラウスの定理とは？

まずよく教科書に書いてある定義を紹介しますね。

というものです。これだけだと分かりにくいですよね。これだけを見ると「難しそう…」と感じますよね。しかし実はメネラウスの定理は覚えるためのコツさえつかめば、非常にシンプルに理解することができます！

ポイントは “３STEP”を守ること！

メネラウスの定理は以下の３ステップを守れば簡単に解くことができます！それぞれ詳しく解説します。

練習問題を使って解説！

練習問題１

こちらの問題を使って進めていきましょう！

続けて、もう1問やってみましょう。

練習問題２

この問題もメネラウスの定理が使えますよ。そこで先ほどの３STEPの出番です。実際にやってみましょう！

メネラウスの定理の証明（平行線を1本引く）

一番上の図（△ABCと直線DFE）で証明します。点Cを通り、直線DEに平行な直線を引き、辺ABとの交点をGとします。

① △BCGと△BEDの相似から

CG∥EDなので、△BCG∽△BEDです。対応する辺の比から、BE：EC＝BD：DGが言えます。

\begin{eqnarray} &&\frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DG} \end{eqnarray}

② △AFDと△ACGの相似から

DF∥GCなので、△AFD∽△ACGです。ここから、CF：FA＝GD：DAが言えます。

\begin{eqnarray} &&\frac{CF}{FA}=\frac{GD}{DA} \end{eqnarray}

③ かけ合わせると1になる

①と②を、定理の式の左辺に代入します。

\begin{eqnarray} &&\frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}\\ &&=\frac{AD}{DB}\times\frac{BD}{DG}\times\frac{GD}{DA}\\ &&=1 \end{eqnarray}

分子と分母に同じ長さ（AD・DB・DG）が1回ずつ出てくるので、全部約分されて1になります。平行線を「どの点から、どの直線に平行に」引くかを決めれば、あとは相似を2回使うだけです。

メネラウスの定理はいつ習う？高1の数学A「図形の性質」

メネラウスの定理は、高校数学の「数学A」の単元「図形の性質」で習います。数学Aは多くの高校で高1に学習するので、高1で習う定理と考えて大丈夫です。中学校の教科書には出てきません。

文部科学省の学習指導要領の解説には、数学Aの図形の性質で扱う例として「平行線の性質や三角形の相似などを用いてメネラウスの定理が成り立つこと」と書かれています（文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』（PDF））。

中学で習う「三角形の相似」や「平行線と線分の比」が、この定理の基礎です。相似があやしい人は、先にそちらを復習すると理解が速くなります。

チェバの定理とメネラウスの定理の見分け方

どちらも「三角形の辺の比の積が1になる」定理なので、式の見た目はよく似ています。見分けるときは、図の中の線の引き方を見てください。

迷ったら、この記事の3STEP（三角形を決める→頂点と分点に分ける→頂点と分点を交互にたどって1周）で式を立ててください。どちらの定理でも、同じ手順で正しい式になります。

実はチェバの定理も同じ解き方で可能！

問題を見た時に、チェバを使うのかメネラウスを使うのか、分からないという方がよくいらっしゃいます。しかし実はチェバの定理もメネラウスの定理もどちらも解法は同じなんです。

つまりどちらも今回ご紹介した3STEPで解くことができます。どちらかは分からなくてもいいので、この３ステップを試してみることで得たい比を得ることができますよ。

チェバの定理は、下の記事で詳しく解説しています。

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チェバの定理の覚え方と証明｜いつ習う？メネラウスとの違いも 多くの方が高校１年生で学習する"チェバの定理"。教科書を見ると式の複雑さに混乱してしまう方も多いのではないでしょうか。というのも筆者もその一人でした。

定期テストでは、この3STEPで式を立てる練習を2〜3問しておけば十分戦えます。

メネラウスの定理のよくある質問

この記事で確認した資料

文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』（PDF）：数学A「図形の性質」でチェバの定理・メネラウスの定理を扱う例（2026年9月25日確認）

【補足】こうした解法テクニックを覚えても点が伸びない場合、原因はテクニックではなく基礎の理解にあることがほとんどです。基礎のどこが抜けているかを先に特定するほうが、遠回りに見えて速く終わります。塾全般の比較はオンライン塾比較の記事へ。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

公式・定理をまとめて確認できる一問一答も用意しています。