チェバの定理の覚え方と証明｜いつ習う？メネラウスとの違いも

多くの方が高校１年生で学習する“チェバの定理”。教科書を見ると式の複雑さに混乱してしまう人は多いです。というのも筆者もその一人でした。しかし高校の時に学んだある覚え方をすることで、それ以降簡単に解けるようになりましたので、今回の記事ではそれらを全て解説します！

この記事を最後まで見れば、数学が苦手な方でもチェバの定理の使い方が分かるようになります！

チェバの定理とは？

まずよく教科書に書いてある定義を紹介しますね。

というものです。これだけだと分かりにくいですよね。これだけを見ると「難しそう…」と感じますよね。しかし実は、チェバの定理は覚えるためのコツさえつかめば、非常にシンプルに理解することができます！

ポイントは “３STEP”を守ること！

チェバの定理は以下の３ステップを守れば簡単に解くことができます！それぞれ詳しく解説します。

練習問題を使って解説！

練習問題１（交点が三角形の中にあるパターン）

こちらの問題を使って進めていきましょう！

続けて、もう1問やってみましょう。

練習問題２（交点が三角形の外にあるパターン）

今回の問題は先ほどとは違って、交点Oが△ABCの外側にありますよね。こういった場合だと簡単に式を立てるのは難しくなります。そこで先ほどの３STEPの出番です。実際にやってみましょう！

チェバの定理の証明（面積の比を使う）

一番上の図（△ABCと、内部の点O）で証明します。使うのは「高さが同じ三角形では、面積の比は底辺の比に等しい」という性質だけです。

① BP：PCを面積の比にする

△ABOと△ACOは、辺AOを共通の底辺と見ると、面積の比がBとCからAOまでの距離の比になります。この距離の比はBP：PCに等しいので、次の式が成り立ちます。

\begin{eqnarray} &&\frac{BP}{PC}=\frac{\triangle ABO}{\triangle ACO} \end{eqnarray}

② 残りの2つも同じように

同じ考え方で、CQ：QAは△BCOと△BAOの面積の比、AR：RBは△CAOと△CBOの面積の比になります。

\begin{eqnarray} &&\frac{CQ}{QA}=\frac{\triangle BCO}{\triangle BAO}\\ &&\frac{AR}{RB}=\frac{\triangle CAO}{\triangle CBO} \end{eqnarray}

③ かけ合わせると1になる

\begin{eqnarray} &&\frac{BP}{PC}\times\frac{CQ}{QA}\times\frac{AR}{RB}\\ &&=\frac{\triangle ABO}{\triangle ACO}\times\frac{\triangle BCO}{\triangle BAO}\times\frac{\triangle CAO}{\triangle CBO}\\ &&=1 \end{eqnarray}

△ABOと△BAO、△ACOと△CAO、△BCOと△CBOはそれぞれ同じ三角形なので、分子と分母がすべて約分されて1になります。点Oが三角形の外にある場合も、同じ面積の比の考え方で証明できます。

チェバの定理はいつ習う？高1の数学A「図形の性質」

チェバの定理は、高校数学の「数学A」の単元「図形の性質」で習います。数学Aは多くの高校で高1に学習するので、高1で習う定理と考えて大丈夫です。中学校の教科書には出てきません。

文部科学省の学習指導要領の解説には、数学Aの図形の性質で扱う例として「面積比と線分比の関係を用いてチェバの定理が成り立つこと」と書かれています（文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』（PDF））。

中学で習う「三角形の相似」や「平行線と線分の比」が、この定理の土台です。相似があやしい人は、先にそちらを復習すると理解が速くなります。

チェバの定理とメネラウスの定理の見分け方

どちらも「三角形の辺の比の積が1になる」定理なので、式の見た目はよく似ています。見分けるときは、図の中の線の引き方を見てください。

迷ったら、この記事の3STEP（三角形を決める→頂点と分点に分ける→頂点と分点を交互にたどって1周）で式を立ててください。どちらの定理でも、同じ手順で正しい式になります。

実はメネラウスの定理も同じ解き方で可能！

問題を見た時に、チェバを使うのかメネラウスを使うのか、分からないという方がよくいらっしゃいます。しかし実はチェバの定理もメネラウスの定理もどちらも解法は同じなんです。

つまりどちらも今回ご紹介した3STEPで解くことができます。どちらかは分からなくてもいいので、この３ステップを試してみることで得たい比を得ることができますよ。

メネラウスの定理は下記の記事からぜひご覧ください！

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メネラウスの定理の覚え方と証明｜いつ習う？チェバとの違いも 多くの方が高校１年生で学習する"メネラウスの定理"。同時期に習うチェバの定理とも相まって、図形問題が一気に難しく感じますよね。というのも筆者もその一人でした。

定期テストでは、この3STEPで式を立てる練習を2〜3問しておけば十分戦えます。

チェバの定理のよくある質問

この記事で確認した資料

文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』（PDF）：数学A「図形の性質」でチェバの定理・メネラウスの定理を扱う例（2026年9月25日確認）

【補足】こうした解法テクニックを覚えても点が伸びない場合、原因はテクニックではなく土台の理解にあることがほとんどです。土台のどこが抜けているかを先に特定するほうが、遠回りに見えて速く終わります。塾全般の比較はオンライン塾比較の記事へ。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

公式・定理をまとめて確認できる一問一答も用意しています。