高校受験に向けた中学数学の実戦50問です。Part 1が公式・用語の確認だったのに対し、こちらは実際に手を動かして解く問題を集めました。問題をタップすると答えと解説が開きます。すべて無料です。
- 必ず紙に書いて解く…数学は見るだけでは点になりません
- まず答えを見ずに1周…分からなくても止まらず、印だけつけて進みます
- ★は間違えやすい問題…50問中31問です
- 2周目は★と間違えた問題だけ…全部やり直す必要はありません
この50問は、私が実際に「ここで落とす生徒が多い」と感じた問題を優先して並べました。とくに問3のカッコの符号、問20の「2割引」、問42の比の取り違え——この3つは、学力に関係なく毎年誰かが落とします。解説にその理由も書いています。
公式や用語の確認から始めたい場合は、Part 1からどうぞ。
計算（問1〜10）
1. -3 -(-7) を計算しなさい。
4。
引く数の符号を変えて足します。-3 + 7 = 4。
2. (-2)³ × (-3)² を計算しなさい。★
-72。
(-2)³ = -8、(-3)² = 9。-8 × 9 = -72。指数が奇数なら符号は負、偶数なら正です。
3. 2(3x − 1) − 3(x − 4) を計算しなさい。★
3x + 10。
6x − 2 − 3x + 12。後ろのカッコの符号ミスが最頻出です。-3 × (-4) = +12。
4. (x + 3)(x − 5) を展開しなさい。
x² – 2x − 15。
和が -2、積が -15。
5. (2x − 3)² を展開しなさい。★
4x² – 12x + 9。
(a-b)² = a² – 2ab + b²。真ん中の項を忘れるミスが多いです。
6. x² – 7x + 12 を因数分解しなさい。
(x − 3)(x − 4)。
足して -7、かけて 12 になる2数を探します。
7. 9x² – 16 を因数分解しなさい。★
(3x + 4)(3x − 4)。
a² – b² = (a+b)(a-b)。9x² =(3x)²、16 = 4²。
8. √12 + √27 を計算しなさい。★
5√3。
√12 = 2√3、√27 = 3√3。まず根号の中を小さくしてから足すのが手順です。
9. √6 × √8 ÷ √3 を計算しなさい。★
4。
√(6×8÷3) = √16 = 4。先に根号の中でまとめると速いです。
10. (√5 + 2)(√5 − 2) を計算しなさい。
1。
(a+b)(a-b) = a² – b² = 5 − 4 = 1。
方程式（問11〜20）
11. 5x − 7 = 2x + 8 を解きなさい。
x = 5。
3x = 15。文字を左、数を右に集めるのが基本形です。
12. (x + 2)/3 = (x − 1)/2 を解きなさい。★
x = 7。
両辺に6をかけて 2(x+2) = 3(x-1)。2x + 4 = 3x − 3。
13. 連立方程式 x + y = 7、2x − y = 2 を解きなさい。
x = 3、y = 4。
足すと 3x = 9。yの符号が逆なので、加えるだけで消えます。
14. 連立方程式 3x + 2y = 16、x − y = 2 を解きなさい。★
x = 4、y = 2。
下の式から x = y + 2。代入して 3(y+2) + 2y = 16 → 5y = 10。
15. x² – 6x + 8 = 0 を解きなさい。
x = 2、4。
(x-2)(x-4) = 0。因数分解できるかを先に確かめると速いです。
16. x² + 5x + 2 = 0 を解きなさい。★
x = (-5 ± √17) / 2。
因数分解できないので解の公式を使います。判別式は 25 − 8 = 17。
17. 2x² – 3x − 2 = 0 を解きなさい。★
x = -1/2、2。
(2x + 1)(x − 2) = 0。x²の係数が1でないときのたすき掛けです。
18. ある数を3倍して5を引くと16になった。ある数を求めなさい。
7。
3x − 5 = 16 → 3x = 21。
19. 連続する3つの整数の和が48のとき、真ん中の数を求めなさい。★
16。
(n-1) + n + (n+1) = 3n = 48。真ん中を n とおくと式が最も簡単になります。
20. 定価の2割引で買ったら1200円だった。定価はいくらか。★
1500円。
0.8x = 1200。「2割引」は 0.8 をかける——ここを 1.2 と間違える人が多いです。
関数（問21〜30）
21. y = 2x − 3 で、x = 4 のときの y を求めなさい。
y = 5。
2 × 4 − 3 = 5。
22. 傾きが3で、点(1, 2)を通る直線の式を求めなさい。
y = 3x − 1。
y = 3x + b に (1, 2) を代入して 2 = 3 + b。
23. 2点(-1, 5)、(2, -1)を通る直線の式を求めなさい。★
y = -2x + 3。
傾き = (-1 − 5) ÷ (2 − (-1)) = -6 ÷ 3 = -2。あとは片方の点を代入します。
24. y = ax² のグラフが点(2, 12)を通るとき、a を求めなさい。
a = 3。
12 = a × 4。
25. y = x² で、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合を求めなさい。★
4。
(9 − 1) ÷ (3 − 1) = 4。y = ax² の変化の割合は一定ではありません。ここが一次関数との最大の違いです。
26. y = -2x + 6 と x軸との交点の座標を求めなさい。★
(3, 0)。
x軸上は y = 0。0 = -2x + 6。x軸ならy=0、y軸ならx=0です。
27. y = x + 1 と y = -x + 5 の交点の座標を求めなさい。★
(2, 3)。
x + 1 = -x + 5 → 2x = 4 → x = 2。交点＝連立方程式の解です。
28. y = 2x + 1 のグラフと x軸・y軸で囲まれる三角形の面積を求めなさい。★
1/4。
x切片は -1/2、y切片は 1。面積 = 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。切片の長さは絶対値で取ることに注意。
29. 反比例のグラフが点(3, 4)を通るとき、x = 6 のときの y を求めなさい。
y = 2。
y = a/x に代入して a = 12。y = 12/6 = 2。
30. y = ax² で x = -2 のとき y = 8 である。x = 3 のときの y を求めなさい。★
y = 18。
8 = a × 4 より a = 2。y = 2 × 9 = 18。xが負でも y = ax² では x² が正になります。
図形（問31〜42）
31. 三角形の2つの内角が50°と60°のとき、残りの角を求めなさい。
70°。
180 − (50 + 60)。
32. 正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。★
135°。
(8 − 2) × 180 ÷ 8 = 1080 ÷ 8。外角から求めて 180 − 360÷8 = 135 でも同じです。
33. 直角をはさむ2辺が3と4の直角三角形の斜辺を求めなさい。
5。
3² + 4² = 25。3:4:5 は覚えておくと速い比です。
34. 斜辺が13、1辺が5の直角三角形の残りの辺を求めなさい。★
12。
13² – 5² = 169 − 25 = 144。5:12:13 も頻出の比です。
35. 1辺が6の正三角形の高さを求めなさい。★
3√3。
1:2:√3 の直角三角形になります。高さ = 6 × (√3/2)。
36. 半径5の円の面積を求めなさい。
25π。
πr² = π × 25。
37. 半径6、中心角60°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。★
弧 2π、面積 6π。
全体の 60/360 = 1/6 です。弧 = 12π × 1/6、面積 = 36π × 1/6。
38. 底面の半径3、高さ4の円錐の体積を求めなさい。★
12π。
1/3 × π × 9 × 4。錐は「1/3」を忘れやすいところです。
39. 半径3の球の体積と表面積を求めなさい。★
体積 36π、表面積 36π。
体積 = 4/3 πr³ = 4/3 × 27π、表面積 = 4πr² = 36π。この場合はたまたま同じ値になります。
40. 相似比が 2 : 3 の三角形の面積比を求めなさい。★
4 : 9。
面積比は相似比の2乗。体積比なら3乗で 8 : 27 です。
41. 中心角が80°のとき、同じ弧に対する円周角を求めなさい。
40°。
円周角は中心角の半分です。
42. △ABCでDE∥BC、AD : DB = 2 : 3、BC = 10 のとき DE を求めなさい。★
4。
AD : AB = 2 : 5 なので DE : BC = 2 : 5。比べるのは AD:DB ではなく AD:AB——ここが最大のひっかけです。
確率とデータ（問43〜50）
43. さいころを2個投げて、出た目の和が7になる確率を求めなさい。★
1/6。
全36通りのうち6通り。和が7は最も出やすい組み合わせです。
44. 硬貨を3枚投げて、すべて表になる確率を求めなさい。
1/8。
全8通りのうち1通り。
45. 赤玉3個、白玉2個から1個取り出すとき、赤が出る確率を求めなさい。
3/5。
46. 5本中2本が当たりのくじを1本引くとき、はずれる確率を求めなさい。★
3/5。
当たる確率 2/5 の余事象。1 − 2/5 で求めます。
47. データ 3, 5, 5, 7, 10 の中央値と平均値を求めなさい。★
中央値 5、平均値 6。
合計30 ÷ 5 = 6。平均が中央値より大きいのは、大きい値に引っ張られているからです。
48. データ 2, 4, 6, 8, 10, 12 の中央値を求めなさい。★
7。
データが偶数個のときは真ん中2つの平均。(6 + 8) ÷ 2。
49. データ 1, 2, 2, 3, 8 の最頻値を求めなさい。
2。
最も多く出てくる値です。ちなみに平均値は3.2、中央値は2。
50. 全体の度数が20、ある階級の度数が5のとき、相対度数を求めなさい。★
0.25。
5 ÷ 20。相対度数の合計は必ず1になります。
間違えた問題が10問以下なら、あとは演習量の問題です。20問を超えたなら、公式そのものがあやしい可能性があるのでPart 1に戻ってください。「解き方は分かるのに計算で落とす」が多かった人は、途中式を省略していないかを見直すのがいちばん効きます。
間違えた場所別・次にやること
| よく落とした場所 | 次にやること |
|---|---|
| 計算（問1〜10） | ここが崩れると全分野に響きます。最優先で毎日10問 |
| 方程式（問11〜20） | 文章題は「何を x とおくか」を書き出す練習から |
| 関数（問21〜30） | グラフを必ず描く。式だけで考えると必ず詰まります |
| 図形（問31〜42） | 公式の暗記より、図に数値を書き込む習慣が先 |
| 確率・データ（問43〜50） | 得点源になりやすい分野。落としたなら最優先で回収 |
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