円に内接する四角形ABCDにおいて、 AB=5 BC=3 CD=5 B=120°である時の値を求めよ。(1)AC (2)AD (3)円の半径R (4)△ACDの内接円の半径r

今回の難易度(定期テスト対策・入試基礎レベル)
総合評価
( 2 )

今回の問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、 AB=5 BC=3 CD=5 B=120°である時の値を求めよ。
(1)AC  (2)AD
(3)円の半径R (4)△ACDの内接円の半径r

主に定期テストで問われることが多いタイプの問題です。必ずマスターしましょう!

解答例

まずは図示してみましょう。フリーハンドでなるべく正確に書くとおおよその検討がつくため、練習から丁寧に図を描いてみましょう。

こんな感じでしょうか。

では以降順番に解いていきます。解答に至る発想もご紹介していきます。

(1) ACの大きさ

図示したものが本来あります...
まずは補助線を引いてみます。

ACはこの四角形の対角線ですのでACを結んでみます。すると△ABCにて余弦定理が使えます。

AC2 = 52+32-2×5×3×cos120° = 25+9+15 =49

ここでACは辺の長さなので、必ず正になることに注意すると、AC=7 となります。

cos120°の値がわからないという方は、そこを先に復習した方が良いです!

(2) ADの大きさ

ADを求める前に重要事項を確認しましょう。円に内接する四角形の対角の和は180°になります。とても重要な声質になりますので覚えておきましょう。今回その性質を使うと角ADCは60°になります。(下図)

図示したものが本来あります...

ここで△ACDにて再度余弦定理を使いましょう。

72 = AD2+52-2×AD×5×cos60°
49 = AD2+25-5AD
(AD+3)(AD-8) = 0
ここでAD>0 ですので AD = 8となります。

対角のsinは同じ値に、cosは符号が反対になることを覚えておくと時短に繋がりますよ!

(3) 円の半径R

今回のように、三角形に外接する円のことを「外接円」といいます。外接円の半径を求める問題では「正弦定理」を使いましょう。すると計算は以下のようになります。

2R = 7 / sin60°
=14/√3R
=7/√3
=7√3/3

(4) △ACDの内接円の半径r

△ACDの内接円を図にすると以下のようになります。

図示したものが本来あります...

ここで、内接円の半径 r を求める以下の公式があります。三角形の3辺の長さをa, b, c、三角形の面積をSとすると

S=r/2×(a+b+c)

従って、まずは三角形の面積Sを求めます。三角形の面積公式 S=1/2×a×b×sinCを用いると

S (△ACD)
= (1/2)×5×8×sin60°
= 20×(√3/2)
= 10√3  となります。

次に公式の右辺の計算で面積Sを計算すると

S (△ACD)
= (1/2)×r×(7+8+5)
= 10r  となります。

この2つは当然同じですのでイコールで結んで答えが得られます。

10r
=10√3 r
√3

まとめ

今回の問題は定期テストで頻出の問題です。どれも重要な問題かつ解法ですので、高校生の皆さんは必ずマスターしておきましょう!

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