今回の問題
円に内接する四角形ABCDにおいて、 AB=5 BC=3 CD=5 B=120°である時の値を求めよ。
(1)AC (2)AD (3)円の半径R (4)△ACDの内接円の半径r
主に定期テストで問われることが多いタイプの問題です。必ずマスターしましょう！
解答例
まずは図示してみましょう。フリーハンドでなるべく正確に書くとおおよその検討がつくため、練習から丁寧に図を描いてみましょう。
では以降順番に解いていきます。解答に至る発想もご紹介していきます。
(1) ACの大きさ
ACはこの四角形の対角線ですのでACを結んでみます。すると△ABCにて余弦定理が使えます。
AC2 = 52+32-2×5×3×cos120° = 25+9+15 =49
ここでACは辺の長さなので、必ず正になることに注意すると、AC=7 となります。
cos120°の値がわからないという方は、そこを先に復習した方が良いです！
(2) ADの大きさ
ADを求める前に重要事項を確認しましょう。円に内接する四角形の対角の和は180°になります。とても重要な声質になりますので覚えておきましょう。今回その性質を使うと角ADCは60°になります。（下図）
ここで△ACDにて再度余弦定理を使いましょう。
72 = AD2＋52-2×AD×5×cos60°
49 = AD2＋25-5AD
(AD+3)(AD-8) = 0
ここでAD＞0 ですので AD = 8となります。
対角のsinは同じ値に、cosは符号が反対になることを覚えておくと時短に繋がりますよ！
(3) 円の半径R
今回のように、三角形に外接する円のことを「外接円」といいます。外接円の半径を求める問題では「正弦定理」を使いましょう。すると計算は以下のようになります。
2R = 7 / sin60°
=14/√3R
=7/√3
=7√3/3
(4) △ACDの内接円の半径r
△ACDの内接円を図にすると以下のようになります。
ここで、内接円の半径 r を求める以下の公式があります。三角形の3辺の長さをa, b, c、三角形の面積をSとすると
S=r/2×(a+b+c)
従って、まずは三角形の面積Sを求めます。三角形の面積公式 S=1/2×a×b×sinCを用いると
S (△ACD)
＝ (1/2)×5×8×sin60°
＝ 20×(√3/2)
＝ 10√3 となります。
次に公式の右辺の計算で面積Sを計算すると
S (△ACD)
＝ (1/2)×r×(7＋8＋5)
＝ 10r となります。
この２つは当然同じですのでイコールで結んで答えが得られます。
10r
＝10√3 r
＝√3
まとめ
今回の問題は定期テストで頻出の問題です。どれも重要な問題かつ解法ですので、高校生の皆さんは必ずマスターしておきましょう！
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