円に内接する四角形の性質と半径の求め方｜正弦定理・余弦定理の問題

2024年4月3日2026年9月13日

今回の難易度（定期テスト対策・入試基礎レベル）

総合評価

( 2 )

【結論】円に内接する四角形で使う知識

向かい合う角の和は180°（∠B＝120° なら ∠D＝60°）。cos D＝−cos B になる
外接円の半径R…対角線で三角形に分けて正弦定理 R＝a／(2 sin A)
内接円の半径r…三角形の面積を2通りに表して S＝(1/2)r(a＋b＋c) から
辺の長さは余弦定理。対角線を2つの三角形から2通りに表すのが定番

この記事の目次

円に内接する四角形の性質4つ

「円に内接する四角形」は、4つの頂点がすべて1つの円の上にある四角形です。次の4つの性質は、そのまま問題の入口になります。

性質	内容	問題での使い方
① 対角の和	向かい合う角の和は 180°（∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°）	∠B が分かれば ∠D が出る。cos D＝−cos B
② 外角	1つの外角は、その内対角（向かいの内角）に等しい	角度を追う問題・証明問題
③ 円周角	同じ弧に対する円周角は等しい（∠BAC＝∠BDC など）	相似・角度の問題
④ トレミーの定理	AC×BD＝AB×CD＋AD×BC（対角線の積＝対辺の積の和）	対角線の長さを一発で出す（検算にも使える）

逆に、対角の和が180°なら、その四角形は円に内接する（性質①の逆）も成り立ちます。「四角形が円に内接することを示せ」という問題は、ほぼこれで解きます。

この記事の問題（AB＝5, BC＝3, CD＝5, AD＝8, AC＝7）でトレミーの定理を使うと、もう1本の対角線は BD＝(5×5＋8×3)／7＝7 と出ます。試験で使う機会は少ないですが、検算の道具として持っておくと安心です。

四角形の外接円の半径Rの求め方【正弦定理】

四角形の外接円は、対角線で分けた三角形の外接円と同じ円です。だから三角形1つを取り出して正弦定理を使えば、四角形の外接円の半径が求まります。

正弦定理：a／sin A＝2R　→　R＝a／(2 sin A)
（a はある辺、A はその辺に向かい合う角）

この記事の問題では、△ABC で AC＝7、∠B＝120° なので

R＝AC／(2 sin B)＝7／(2 sin 120°)＝7／√3＝7√3／3

「辺」と「その向かいの角」のペアが1組分かれば求まります。分かっているペアがなければ、先に余弦定理で辺を出してから正弦定理に入ります。

内接円の半径rの求め方【面積を2通りに表す】

内接円は「図形の内側で3辺（または4辺）に接する円」です。三角形の内接円の半径は、面積を2通りに表すことで求めます。

三角形の面積 S＝(1/2)ab sin C　＝　(1/2)r(a＋b＋c)
→　r＝2S／(a＋b＋c)

この記事の問題の △ACD は AC＝7、CD＝5、AD＝8、∠D＝60° なので、S＝(1/2)×5×8×sin 60°＝10√3。よって r＝2×10√3／(7＋5＋8)＝√3 です。

四角形そのものに内接する円がある場合

四角形に内接円が存在するのは AB＋CD＝BC＋AD（向かい合う辺の和が等しい）とき
そのとき半径は r＝2S／(AB＋BC＋CD＋DA)（面積を4つの三角形に分けて足す）
高校の定期テストで問われるのはほぼ「三角形の内接円」。四角形版は発展として知っておけば十分

外接円は正弦定理、内接円は面積。この2行だけでも覚えて帰ってください。(3)(4)で手が止まる生徒は、ほぼこの2つを取り違えています。

定期テスト頻出の問題：AB＝5, BC＝3, CD＝5, ∠B＝120°

円に内接する四角形ABCDにおいて、 AB=5 BC=3 CD=5 B=120°である時の値を求めよ。
(1)AC　 (2)AD (3)円の半径R　(4)△ACDの内接円の半径r

主に定期テストで問われることが多いタイプの問題です。必ずマスターしましょう！

解答例

まずは図示してみましょう。フリーハンドでなるべく正確に書くとおおよその検討がつくため、練習から丁寧に図を描いてみましょう。

では以降順番に解いていきます。解答に至る発想もご紹介していきます。

(1) ACの大きさ

ACはこの四角形の対角線ですのでACを結んでみます。すると△ABCにて余弦定理が使えます。

AC² = 5²+3²-2×5×3×cos120° = 25+9+15 =49

ここでACは辺の長さなので、必ず正になることに注意すると、AC=7 となります。

cos120°の値がわからないという方は、そこを先に復習した方が良いです！

(2) ADの大きさ

ADを求める前に重要事項を確認しましょう。円に内接する四角形の対角の和は180°になります。とても重要な性質になりますので覚えておきましょう。今回その性質を使うと角ADCは60°になります。（下図）

ここで△ACDにて再度余弦定理を使いましょう。

7² = AD²＋5²-2×AD×5×cos60°
49 = AD²＋25-5AD
(AD+3)(AD-8) = 0
ここでAD＞0 ですので AD = 8となります。

対角のsinは同じ値に、cosは符号が反対になることを覚えておくと時短に繋がりますよ！

(3) 円の半径R

今回のように、三角形に外接する円のことを「外接円」といいます。外接円の半径を求める問題では「正弦定理」を使いましょう。すると計算は以下のようになります。

2R = 7 / sin60°
= 14/√3
よって R = 7/√3 = 7√3/3

(4) △ACDの内接円の半径r

△ACDの内接円を図にすると以下のようになります。

ここで、内接円の半径 r を求める以下の公式があります。三角形の3辺の長さをa, b, c、三角形の面積をSとすると

S=r/2×(a+b+c)

従って、まずは三角形の面積Sを求めます。三角形の面積公式 S=1/2×a×b×sinCを用いると

S (△ACD)
＝ (1/2)×5×8×sin60°
＝ 20×(√3/2)
＝ 10√3 　となります。

次に公式の右辺の計算で面積Sを計算すると

S (△ACD)
＝ (1/2)×r×(7＋8＋5)
＝ 10r　となります。

この２つは当然同じですのでイコールで結んで答えが得られます。

10r ＝ 10√3
よって r ＝ √3

定理の使い分けフローチャート

図形問題で手が止まる原因は、知識不足ではなく「どの定理を使えばいいか判断できない」ことです。三角比の分野で使う定理は実質4つしかないので、条件から選べるように整理しておきましょう。

与えられている条件	使う定理	求まるもの
2辺とその間の角	余弦定理	残りの1辺
3辺	余弦定理（変形）	角のcos
1辺と両端の角（または対角）	正弦定理	他の辺
外接円の半径を求めたい	正弦定理	R = a /(2sinA)
内接円の半径を求めたい	面積の2通り表現	S = (1/2)r(a+b+c) から r
面積を求めたい	S=(1/2)ab sinC	面積S

※この表を頭に入れておけば、問題文を読んだ瞬間に方針が立ちます。

円に内接する四角形の特有ポイント

向かい合う角の和は180°…∠B=120°なら∠D=60°。この性質を使わないと解けない問題がほとんどです
cos D = −cos B…180°−θの関係なのでcosの符号が逆になります。ここが最頻出のミス
対角線で2つの三角形に分ける…四角形のままでは扱えないので、必ず対角線を引いて三角形に持ち込みます
共通の対角線を2通りで表す…両方の三角形から同じ対角線を余弦定理で表し、等式を作るのが定番の解法

この問題で差がつくのは(3)と(4)です。外接円は正弦定理、内接円は面積から——この2つは混同しやすいので、セットで覚えてください。

類題で確認しよう

同じ考え方で解ける類題です。上のフローチャートを使って方針を立ててみてください。

【類題】円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4、BC=5、CD=7、∠B=60°のとき、(1)AC (2)AD (3)四角形ABCDの面積を求めよ。

解き方の方針（答えを見る前に）

(1) △ABCで2辺と間の角が既知 → 余弦定理でAC
(2) ∠D=180°−60°=120°。△ACDでcos120°=−1/2を使い、ADについての2次方程式を解く
(3) 2つの三角形の面積の和。S=(1/2)ab sinC をそれぞれに適用
※(2)で2次方程式の解が2つ出たら、長さは正という条件で片方を除外するのを忘れずに

この単元でよくある失点

①cosの符号ミス

鈍角のcosは負です。∠D=120°のとき cos D = −1/2。ここで符号を落とすと、以降の計算がすべてずれます。90°より大きい角が出てきたら符号を疑う癖をつけてください。

②2次方程式の解の吟味を忘れる

辺の長さを求めて2つの解が出た場合、負の解は必ず除外します。また、正の解が2つ出た場合は問題の条件（他の辺との関係や角の大きさ）で吟味が必要なこともあります。

③外接円と内接円の混同

外接円＝四角形の外側を通る円（正弦定理）、内接円＝三角形の内側に接する円（面積から）。問題文の「外接」「内接」を線で囲んでから解き始めると間違いません。

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円に内接する四角形のよくある質問

円に内接する四角形の性質は何ですか？: ①対角の和が180°、②外角は内対角に等しい、③同じ弧の円周角は等しい、④トレミーの定理（AC×BD＝AB×CD＋AD×BC）の4つです。問題で最も使うのは①です。
四角形の外接円の半径はどう求めますか？: 対角線で三角形に分け、正弦定理 R＝a／(2 sin A) を使います。四角形の外接円と、分けた三角形の外接円は同じ円です。
円に内接する四角形の内接円の半径は？: 問題で問われるのはふつう「対角線で分けた三角形の内接円」で、r＝2S／(a＋b＋c)（Sは三角形の面積）で求めます。四角形自体に内接円があるのは AB＋CD＝BC＋AD のときだけです。
円に内接する四角形の辺の長さはどう求めますか？: 余弦定理です。対角線を引いて2つの三角形を作り、同じ対角線を両方の三角形から余弦定理で表して等式を作ると、未知の辺についての2次方程式になります。
円に内接する四角形は何年生で習いますか？: 性質（対角の和180°など）は数学A「図形の性質」、正弦定理・余弦定理で辺や半径を求めるのは数学I「図形と計量」です。どちらも高1で扱う学校が多く、学習指導要領解説にも両者の関連に配慮するよう書かれています。

まとめ：辺は余弦定理・外接円は正弦定理・内接円は面積

円に内接する四角形の問題は、①対角の和180°で角を出す → ②対角線で三角形に分けて余弦定理 → ③外接円は正弦定理、内接円は面積の順で必ず解けます。定期テストではこの型がそのまま出ます。

この記事で確認した資料

正弦定理・余弦定理が数学I「図形と計量」、円に内接する四角形の性質が数学A「図形の性質」で扱われることは、文部科学省の高等学校学習指導要領解説数学編で確認しました。問題と解答は塾で使っている定期テスト対策のものです（2026年9月13日確認）。

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」

こちらの解説記事もおすすめです！（全て数学ⅠAです）

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