円に内接する四角形の問題｜正弦定理・余弦定理・内接円の半径の求め方

2024年4月3日2026年8月12日

今回の難易度（定期テスト対策・入試基礎レベル）

総合評価

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この記事の目次

今回の問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、 AB=5 BC=3 CD=5 B=120°である時の値を求めよ。
(1)AC　 (2)AD (3)円の半径R　(4)△ACDの内接円の半径r

主に定期テストで問われることが多いタイプの問題です。必ずマスターしましょう！

解答例

まずは図示してみましょう。フリーハンドでなるべく正確に書くとおおよその検討がつくため、練習から丁寧に図を描いてみましょう。

では以降順番に解いていきます。解答に至る発想もご紹介していきます。

(1) ACの大きさ

ACはこの四角形の対角線ですのでACを結んでみます。すると△ABCにて余弦定理が使えます。

AC² = 5²+3²-2×5×3×cos120° = 25+9+15 =49

ここでACは辺の長さなので、必ず正になることに注意すると、AC=7 となります。

cos120°の値がわからないという方は、そこを先に復習した方が良いです！

(2) ADの大きさ

ADを求める前に重要事項を確認しましょう。円に内接する四角形の対角の和は180°になります。とても重要な性質になりますので覚えておきましょう。今回その性質を使うと角ADCは60°になります。（下図）

ここで△ACDにて再度余弦定理を使いましょう。

7² = AD²＋5²-2×AD×5×cos60°
49 = AD²＋25-5AD
(AD+3)(AD-8) = 0
ここでAD＞0 ですので AD = 8となります。

対角のsinは同じ値に、cosは符号が反対になることを覚えておくと時短に繋がりますよ！

(3) 円の半径R

今回のように、三角形に外接する円のことを「外接円」といいます。外接円の半径を求める問題では「正弦定理」を使いましょう。すると計算は以下のようになります。

2R = 7 / sin60°
= 14/√3
よって R = 7/√3 = 7√3/3

(4) △ACDの内接円の半径r

△ACDの内接円を図にすると以下のようになります。

ここで、内接円の半径 r を求める以下の公式があります。三角形の3辺の長さをa, b, c、三角形の面積をSとすると

S=r/2×(a+b+c)

従って、まずは三角形の面積Sを求めます。三角形の面積公式 S=1/2×a×b×sinCを用いると

S (△ACD)
＝ (1/2)×5×8×sin60°
＝ 20×(√3/2)
＝ 10√3 　となります。

次に公式の右辺の計算で面積Sを計算すると

S (△ACD)
＝ (1/2)×r×(7＋8＋5)
＝ 10r　となります。

この２つは当然同じですのでイコールで結んで答えが得られます。

10r ＝ 10√3
よって r ＝ √3

定理の使い分けフローチャート

図形問題で手が止まる原因は、知識不足ではなく「どの定理を使えばいいか判断できない」ことです。三角比の分野で使う定理は実質4つしかないので、条件から選べるように整理しておきましょう。

与えられている条件	使う定理	求まるもの
2辺とその間の角	余弦定理	残りの1辺
3辺	余弦定理（変形）	角のcos
1辺と両端の角（または対角）	正弦定理	他の辺
外接円の半径を求めたい	正弦定理	R = a /(2sinA)
内接円の半径を求めたい	面積の2通り表現	S = (1/2)r(a+b+c) から r
面積を求めたい	S=(1/2)ab sinC	面積S

※この表を頭に入れておけば、問題文を読んだ瞬間に方針が立ちます。

円に内接する四角形の特有ポイント

向かい合う角の和は180°…∠B=120°なら∠D=60°。この性質を使わないと解けない問題がほとんどです
cos D = −cos B…180°−θの関係なのでcosの符号が逆になります。ここが最頻出のミス
対角線で2つの三角形に分ける…四角形のままでは扱えないので、必ず対角線を引いて三角形に持ち込みます
共通の対角線を2通りで表す…両方の三角形から同じ対角線を余弦定理で表し、等式を作るのが定番の解法

この問題で差がつくのは(3)と(4)です。外接円は正弦定理、内接円は面積から——この2つは混同しやすいので、セットで覚えてください。

類題で確認しよう

同じ考え方で解ける類題です。上のフローチャートを使って方針を立ててみてください。

【類題】円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4、BC=5、CD=7、∠B=60°のとき、(1)AC (2)AD (3)四角形ABCDの面積を求めよ。

解き方の方針（答えを見る前に）

(1) △ABCで2辺と間の角が既知 → 余弦定理でAC
(2) ∠D=180°−60°=120°。△ACDでcos120°=−1/2を使い、ADについての2次方程式を解く
(3) 2つの三角形の面積の和。S=(1/2)ab sinC をそれぞれに適用
※(2)で2次方程式の解が2つ出たら、長さは正という条件で片方を除外するのを忘れずに

この単元でよくある失点

①cosの符号ミス

鈍角のcosは負です。∠D=120°のとき cos D = −1/2。ここで符号を落とすと、以降の計算がすべてずれます。90°より大きい角が出てきたら符号を疑う癖をつけてください。

②2次方程式の解の吟味を忘れる

辺の長さを求めて2つの解が出た場合、負の解は必ず除外します。また、正の解が2つ出た場合は問題の条件（他の辺との関係や角の大きさ）で吟味が必要なこともあります。

③外接円と内接円の混同

外接円＝四角形の外側を通る円（正弦定理）、内接円＝三角形の内側に接する円（面積から）。問題文の「外接」「内接」を線で囲んでから解き始めると間違いません。

まとめ

今回の問題は定期テストで頻出の問題です。どれも重要な問題かつ解法ですので、高校生の皆さんは必ずマスターしておきましょう！

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