因数分解とは？意味を簡単に｜展開との関係と素因数分解との違い

「因数分解とは何か」を一言でいうと、足し算や引き算でつながった式を、かけ算の形に直すことです。中学3年の数学で習い、高校の数学Ⅰ・数学Ⅱでも使い続けます。

この記事では、因数分解の意味に絞って説明します。公式の一覧と練習問題は因数分解の公式一覧に、途中式つきで答えを確かめたいときは因数分解ができるサイトにまとめています。

因数分解の意味を簡単に｜和の形を積の形に直す

式には大きく2つの形があります。足し算・引き算でつながった形（和の形）と、かけ算でつながった形（積の形）です。

x²＋5x＋6 と (x＋2)(x＋3) は、見た目は違っても同じ式です。x に何を入れても値は同じになります。たとえば x＝1 なら、1＋5＋6＝12、(1＋2)(1＋3)＝3×4＝12 で一致します。

つまり因数分解は、式の値を変えずに書き方だけを変える操作です。どちらの形が便利かは、その式で何をしたいかによって変わります。

因数とは？かけ算をつくっている一つひとつ

因数とは、かけ算をつくっている一つひとつの数や式のことです。6＝2×3 なら、2 と 3 が 6 の因数です。式でも同じで、(x＋2)(x＋3) の x＋2 と x＋3 が因数です。

「因数分解」という言葉は、因数に分解するという意味です。ひとかたまりの式を、かけ算の部品に分けていくイメージです。

3x＋6 のように、どの項にも同じ因数（ここでは 3）が入っているとき、それを共通因数といいます。3x＋6＝3(x＋2) のように、共通因数をかっこの外にくくり出すのも因数分解です。因数分解では、まず共通因数をくくり出すのが最初の手順です。

展開と因数分解の関係｜同じ公式を逆から使う

文部科学省の中学校学習指導要領解説 数学編は、中学3年の内容として、因数分解を乗法や式の展開の公式の逆として理解できるようにすると書いています。

新しく覚える公式が増えるわけではありません。展開の公式を右から左に読むのが因数分解です。展開の公式を覚えていれば、因数分解の公式も同時に覚えたことになります。

同じ解説には、公式を数の計算に使う例も出ています。101²＝(100＋1)²＝10000＋200＋1＝10201、13²−12²＝(13＋12)(13−12)＝25×1＝25 です。2つ目の例が因数分解（a²−b²＝(a＋b)(a−b)）を使った計算です。

素因数分解との違い｜「12の因数分解」は素因数分解のこと

検索すると「12の因数分解は？」「20の因数分解は？」という質問がよく出てきます。数（自然数）を素数のかけ算に分けるのは、正確には素因数分解といい、中学1年で習います。

中学校学習指導要領解説 数学編では、自然数を約数を使って積に表す操作を続けていくと、最終的には素数だけの積で表すことができ、これが素因数分解で、その表し方はただ一通りに決まると説明しています。

12 は 2×6 でも 3×4 でも表せますが、6 や 4 は素数ではないのでさらに分けます。どの順番で分けても、最後は 2×2×3＝2²×3 になります。これが「ただ一通りに決まる」という意味です。

因数分解はなぜ必要？二次方程式を解くため

因数分解を習ういちばんの目的は、二次方程式を解くことです。中学校学習指導要領解説 数学編は、二次方程式の解き方の1つとして、因数分解によって一次式の積に変形し、「AB＝0ならば、A＝0またはB＝0」であることを用いる方法を挙げています。

たとえば x²＋5x＋6＝0 は、そのままでは x が求めにくい式です。因数分解すると (x＋2)(x＋3)＝0。かけ算の答えが 0 になるのは、どちらかが 0 のときだけなので、x＋2＝0 または x＋3＝0、つまり x＝−2、−3 と求まります。

二次方程式を、すでに解ける一次方程式2つに分けられる。これが因数分解の便利さです。高校では、二次関数のグラフが x 軸と交わる点を求めるときや、三次方程式を解くときにも使います。

ここで取り上げる式の展開や因数分解は、数や図形の性質が成り立つことを、文字を用いた式で説明したり、二次方程式を解いたりする程度の式の計算であり、必要以上に複雑で無目的な計算練習にならないようにする。

文部科学省「中学校学習指導要領解説 数学編」

中学校の因数分解は、二次方程式を解いたり、数の性質を説明したりするための道具という位置づけです。むやみに複雑な問題を解けなくても大丈夫です。

因数分解はいつ習う？中3・数学Ⅰ・数学Ⅱの早見表

高校の範囲は、文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編で確認しました。数学Ⅰでは「二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深める」、数学Ⅱの「いろいろな式」では「三次の乗法公式や因数分解の公式に加えて二項定理を取り扱う」とされています。たすき掛けのコツはたすき掛けを一瞬で解く裏技で解説しています。

因数分解ができたか確かめる方法

因数分解の答えは、展開すれば必ず確かめられます。これは中3でも高校でも同じです。

x に数を入れる方法は、テストの見直しにも使えます。x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) なら、x＝1 のとき左辺は 12、右辺も 3×4＝12 です。値が合わなければ、どこかで符号か数を間違えています。

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因数分解についてよくある質問

この記事で確認した資料

因数分解・素因数分解・二次方程式の扱いは、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」、高校の範囲は「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」で確認しました（2026年9月27日）。公式の一覧と練習問題は当サイトの記事にまとめています。