数学の公式一覧｜中学・高校で本当に覚える公式と、導ける公式の分け方

2026年9月7日

数学の公式は、数が多いから覚えられないのではありません。覚える公式と、その場で導く公式を分けていないから、全部を暗記対象にしてしまって崩れます。

この記事では、中学と高校の公式を学年・科目ごとに並べたうえで、分野ごとに「元の1本」だけを覚え、残りはそこから出すという持ち方を示します。公式一覧としても使えますが、狙いは覚える量を減らすことです。

この記事の目次

結論：分野ごとに「元の1本」だけを覚える

数学の公式は、分野ごとに親が1本あって、他はその変形です。親を書けるようにしておけば、忘れても現場で作り直せます。

分野	覚える「元の1本」	そこから出るもの
展開・因数分解	(a+b)² = a²+2ab+b²	(a−b)²、(a+b)(a−b)=a²−b²、(a+b)³
二次方程式	平方完成（a(x−p)²+q の形に直す）	解の公式 x = (−b±√(b²−4ac))/2a、判別式 D = b²−4ac
図形の長さ	三平方の定理 a²+b² = c²	2点間の距離、円の方程式 (x−a)²+(y−b)² = r²
三角比	sin²θ+cos²θ = 1	tanθ = sinθ/cosθ、1+tan²θ = 1/cos²θ
三角関数	加法定理 sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ	2倍角、半角、三角関数の合成
数列	等差 aₙ = a+(n−1)d ／等比 aₙ = arⁿ⁻¹	和の公式、Σの公式
微分	定義 f′(x) = lim(f(x+h)−f(x))/h	(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹、積・商の微分
確率	確率 = あてはまる場合の数 ÷ 全体の場合の数	余事象、条件付き確率、期待値

塾で「公式が覚えられない」と言う子に、解の公式を平方完成から出させると、たいてい途中で止まります。止まる場所がその子の穴です。丸暗記していた公式を1回だけ自分で導くと、そこから急に定着します。

中学数学の公式一覧（中1〜中3）

中学は範囲が狭いので、ここは素直に覚えてしまってかまいません。ただし図形の体積と相似だけは、意味を持たずに覚えると必ず混ざります。

学年	単元	公式
中1	比例・反比例	y = ax ／ y = a/x
中1	円	円周 = 2πr ／面積 = πr²
中1	立体	柱の体積 = 底面積×高さ／錐の体積 = 底面積×高さ÷3
中1	球	表面積 = 4πr² ／体積 = 4πr³÷3
中2	一次関数	y = ax+b ／傾き a = yの増加量 ÷ xの増加量
中2	角	n角形の内角の和 = 180×(n−2) ／外角の和 = 360
中3	展開・因数分解	(a+b)² = a²+2ab+b² ／ (a+b)(a−b) = a²−b²
中3	二次方程式	x = (−b±√(b²−4ac))/2a
中3	関数	y = ax² ／変化の割合 = a(p+q)
中3	相似	面積比 = 相似比の2乗／体積比 = 相似比の3乗
中3	三平方の定理	a²+b² = c²（直角をはさむ2辺と斜辺）
中3	円周角	円周角 = 中心角÷2

中学でいちばん失点する公式

相似比・面積比・体積比です。相似比が2なら面積比は4、体積比は8。ここを「2倍」と答えて落とす答案が毎年出ます。相似比を2乗・3乗する、と手を動かして確かめてください。

高校数学の公式一覧：数学I・数学A

高校に入ると、公式に使ってよい条件が付きます。式だけ覚えて条件を落とすと、答案が途中で破綻します。

数学I

単元	公式	使う条件・注意
二次関数	y = a(x−p)²+q（平方完成）	頂点 (p, q)。最大最小はここから読む
二次方程式	D = b²−4ac	D>0 で異なる2つの実数解、D=0 で重解、D<0 で実数解なし
三角比	sin²θ+cos²θ = 1	θの範囲で符号が決まる。範囲を先に書く
正弦定理	a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R	向かい合う辺と角がそろっているとき
余弦定理	a² = b²+c²−2bc·cosA	2辺とはさむ角、または3辺が分かるとき
三角形の面積	S = (1/2)bc·sinA	2辺とはさむ角。高さが不明でも出せる
データ	分散 = (偏差の2乗)の平均／標準偏差 = √分散	単位をそろえるのは標準偏差

数学A

単元	公式	使う条件・注意
順列	nPr = n!/(n−r)!	並べる順番を区別するとき
組合せ	nCr = n!/(r!(n−r)!)	選ぶだけで順番を区別しないとき
確率の和	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)	同時に起こる場合を引く
余事象	P(A) = 1−P(Aでない)	「少なくとも1つ」はこちらが速い
条件付き確率	P(B\|A) = P(A∩B)/P(A)	分母が全体ではなくAになる
方べきの定理	PA·PB = PC·PD	円と2本の直線が交わるとき
整数	ユークリッドの互除法	最大公約数を割り算の繰り返しで出す

数学Aの確率は、公式より「順番を区別するか」の判断が先です。nPr と nCr のどちらかで迷ったら、具体的に3個くらいで書き出して数えてください。書き出しは遠回りに見えて、いちばん確実です。

高校数学の公式一覧：数学II・数学B・数学C

数学II

単元	公式
式と証明	二項定理 (a+b)ⁿ の展開に nCr が並ぶ
図形と方程式	円の方程式 (x−a)²+(y−b)² = r² ／点と直線の距離 \|ax₀+by₀+c\|/√(a²+b²)
三角関数	加法定理 sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ ／ cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ
三角関数	2倍角 sin2α = 2sinαcosα ／ cos2α = 1−2sin²α ／合成 a·sinθ+b·cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+α)
指数・対数	log(MN) = logM+logN ／ log(Mᵏ) = k·logM ／底の変換 log_a b = log_c b / log_c a
微分・積分	(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ／ ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C ／面積の 1/6 公式

数学B・数学C

科目	単元	公式
数学B	数列	等差 aₙ = a+(n−1)d ／和 Sₙ = n(a+l)/2
数学B	数列	等比 aₙ = arⁿ⁻¹ ／和 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)（r≠1）
数学B	数列	Σk = n(n+1)/2 ／ Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
数学B	統計的な推測	期待値 E(X) = Σ(値×確率) ／分散 V(X) = E(X²)−{E(X)}²
数学C	ベクトル	内積 a·b = \|a\|\|b\|cosθ ／成分では a₁b₁+a₂b₂
数学C	ベクトル	垂直なら内積 = 0 ／平行なら実数倍で書ける
数学C	複素数平面	ド・モアブルの定理 (cosθ+i·sinθ)ⁿ = cos(nθ)+i·sin(nθ)

数学Bの「統計的な推測」と数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」は、平成30年告示の学習指導要領で今の並びになりました。手元の参考書が古いと、単元の場所がずれていることがあります。

公式が覚えられない3つの原因と、その直し方

原因	出る症状	直し方
文字が何を指すか持っていない	余弦定理の a・b・c がどの辺か言えない	図に必ず記号を書き込む。文字と図が結び付くまで式を使わない
使う条件を覚えていない	正弦定理と余弦定理のどちらを使うか毎回迷う	「与えられた情報 → 使う公式」の索引を自分で1枚作る
一度も導いたことがない	忘れたら手が止まる。思い出すしかない	元の1本から紙に出す作業を1回だけやる。2回目からは思い出せる

公式ノートを作っても伸びない理由

公式を書き写すだけのノートは、教科書の巻末と同じものを手書きで作っているだけです。作るなら「与えられた情報から引く索引」にしてください。2辺とはさむ角なら余弦定理、向かい合う辺と角なら正弦定理、という引き方に変えると使えます。

公式を導ける形にする勉強の順番

順番を間違えると、演習量を増やしても定着しません。次の並びで進めてください。

順番	やること	終わりの目安
1	分野の「元の1本」を、何も見ずに書く	1分以内に書けたら次へ
2	派生の公式を、元の1本から紙の上で導く	導出の途中式が書けたら次へ
3	「与えられた情報 → 使う公式」の索引を作る	問題文を読んだ瞬間に候補が2つ以内に絞れたら次へ
4	時間を計って解く	条件の書き落としが消えたら仕上がり