たすき掛けを一瞬で解く裏技｜因数分解の時短テクニック【高校数学I】

たすき掛けは、隣同士に並ぶ数は必ず互いに素（1以外の共通の約数をもたない）と知っているだけで、試す組み合わせを減らせます。前提は、式全体を先に数字でくくっておくことです。

問題

いきなりですが次の式を因数分解してみてください。

\begin{eqnarray}
6x^2+7x+2
\end{eqnarray}

まずは以下のように準備をすると思います。ここで、掛けて２になるのは2×1しかありませんから、真ん中の列は2と1で確定させました。

ここで迷うこととして掛けて６になるのは 「1×6」「6×1」「2×3」「3×2」の４パターンあります。つまり以下の場合があるわけです。

しかしここでこれから紹介する考え方を使えば２つにまで一瞬で絞ることができます。

たすき掛けが早くなる考え方

その考え方は…「隣同士に並ぶ数は互いに素」ということです。「互いに素」とは１以外の共通する約数を持たないという意味です。

例えば2と5, 6と7, 10と13などが挙げられます。反対に2と6は約数2を持っていますし、3と9も3の約数を持っているので互いに素にはなりません。

隣に並ぶ数は互いに素になる

そしてたすき掛けにおいて、隣に並ぶ数は必ず互いに素になります。（理由は後述）
ただし前提があります。これは式全体が数字でくくれない状態（＝共通因数を先に外してある）のときの話です。

6x²＋10x＋4 のように全体が2でくくれる式では成り立たないので、たすき掛けの前に共通因数を外すのを忘れないでください。

従って先ほどの４つの中から以下の２つはまず除外できるんです。

ですので後は、以下の２つを試したら良いということになりますね。経験上、掛けて6の場合は多くが「2×3」の組み合わせを選ぶと上手くいきます。今回も２つ目のパターンが正解になります。

なぜ隣に並ぶのは互いに素になるのか。

もし以下のパターンで上手くいくとしましょう。

この場合は因数分解の結果はこのようになりますよね。

\begin{eqnarray}
(6x+2)(x+1)
\end{eqnarray}

しかし前半の部分は２でくくることが出来ますよね。因数分解は基本的に共通の因数があれば括り出さなければいけません。

そもそもたすき掛けをしたのにさらに数字でくくれるというのは少し変な話になってしまうわけです。

もう少し言及すると、今回６x²+７x+２は２で括れません。なのにも拘らず２×（整数係数の多項式）という形になるのは矛盾してしまうわけです。

ですのでそれ以上共通因数で括ることが出来ないように、隣同士には互いに素である数を並べることになるんです。

たすき掛けの考え方を解説している動画も貼っておきます。

【補足】こうした解法テクニックを覚えても「そもそも数学が苦手で追いつけない」という場合は、独学で悩み続けるより、どこでつまずいているかを先に特定するほうが近道です。

つまずきの見つけ方は、高校数学が全くわからないときの原因と克服の手順にまとめています。

塾の選び方全般はオンライン塾の比較記事で解説しています。

塾で教えている「数字を試す順番」

たすき掛けが遅い人は、数字の組み合わせを思いついた順に試していることがほとんどです。実は試す順番には定石があり、これを守るだけで、試す回数を減らせます。

よくあるミス3パターン【現場で見てきた傾向】

塾で採点していて、たすき掛けの間違いは驚くほど同じ3種類に集中します。

ミス①：符号のつけ間違い（最頻）

定数項が正で1次の係数が負のとき、「両方マイナス」にすべきところを片方だけマイナスにするミスです。定数項が正なら2数は同符号、負なら異符号。このルールを唱えてから書き始めるだけで防げます。

ミス②：たすき掛けの「たす」を「かける」でやってしまう

斜めにかけた2つを足すのが1次の係数ですが、ここを掛けてしまう人がいます。慣れないうちは「×して→+する」と口に出しながら書くのが有効です。

ミス③：共通因数を先にくくり出していない

2x²+10x+12 のような式で、いきなりたすき掛けを始めると数字が大きくて苦戦します。

先に2でくくって 2(x²+5x+6) にすれば、たすき掛け自体が不要になります（x²の係数が1になるため）。「まず共通因数」は因数分解の絶対的な第一手です。

練習問題【解答つき】

順番に難しくなります。上の「試す順番」を意識して解いてみてください。

	問題	答え	ポイント
(1)	x²+7x+12	(x+3)(x+4)	x²の係数が1→たすき掛け不要
(2)	2x²+7x+3	(2x+1)(x+3)	定数項3が素数→組み合わせ1通り
(3)	3x²−10x+8	(3x−4)(x−2)	定数項が正で1次が負→両方マイナス
(4)	6x²+x−12	(3x−4)(2x+3)	定数項が負→異符号。絶対値の近い組から
(5)	4x²−12x+9	(2x−3)²	完全平方式。たすき掛けの前に気づけると速い
(6)	2x²+10x+12	2(x+2)(x+3)	まず共通因数2をくくる

自分で解いた因数分解の答え合わせは、途中式つきの自動計算ツールでできます。

検算の習慣をつける

因数分解は展開すれば必ず検算できる唯一の分野です。時間がある試験では必ず展開して元の式に戻るか確認してください。特に1次の項（xの係数）だけ確認すれば、ほとんどのミスは発見できます。5秒で済みます。

【数学が苦手な人へ】この記事の内容をどの順番でやるべきか、つまずきの原因の特定方法は数学が苦手な人の克服ロードマップ（4ステップ）で解説しています。

「互いに素」で候補は何通り減るか｜係数1〜10の式を全部数えた

上で紹介した「隣同士は互いに素」の絞り込みが、どれくらい効くのかを数えました。符号は最後に決めるので、ここではx²の係数 a と定数項 c の数字の組だけを数えています。

数え方は、a を2つの数の積に、c を2つの数の積に分けて、たすき掛けの2行に並べる方法の数です（上下の行を入れ替えただけのものは1通り）。

式の例	a と c の最大公約数	候補の数（数えた）	互いに素で残る数（数えた）	残る割合（計算）
6x²＋7x＋2 ＝ (2x＋1)(3x＋2)	2	4通り	2通り	50%
6x²＋7x−20 ＝ (2x＋5)(3x−4)	2	12通り	4通り	33%
12x²＋7x−10 ＝ (3x−2)(4x＋5)	2	12通り	4通り	33%
6x²＋17x＋5 ＝ (3x＋1)(2x＋5)	1	4通り	4通り	100%
8x²＋2x−15 ＝ (2x＋3)(4x−5)	1	8通り	8通り	100%

下の2行では、絞り込みが1通りも効いていません。理由は単純で、a と c が互いに素なら、a の約数と c の約数も必ず互いに素だからです。

隣に並ぶ2数の一方は a の約数、もう一方は c の約数なので、外れる組がそもそも出てきません。

そこで a と c を1〜10の範囲で全部（10 × 10 ＝ 100組）調べ、最大公約数で2つに分けて合計しました。

a と c の関係	組の数	候補の合計（数えた）	互いに素で残る合計（数えた）	残る割合（計算）
互いに素（最大公約数が1）	63組	179通り	179通り	100%
共通の約数がある（最大公約数が2以上）	37組	190通り	63通り	33.2%
全体	100組	369通り	242通り	65.6%

つまり、この絞り込みはa と c が共通の約数をもつとき（6と2、12と10など）に効く道具です。

a と c が互いに素の式（6と5、8と15など）では、記事の上で紹介した「数字を試す順番」の方が時間を左右します。

そもそも、たすき掛けで割り切れない式の方が多い

もう1つ数えました。係数がすべて整数で、全体を数字でくくれない式 ax²＋bx＋c のうち、整数の範囲で因数分解できるものの割合です。

条件は b² − 4ac が0か平方数（1、4、9、16…）になることです。

調べた範囲	式の数（数えた）	因数分解できる式（数えた）	割合（計算）
a＝1、b と c は −10〜10（c≠0）	420個	55個	13.1%
a＝2〜9、b と c は −10〜10（c≠0）	2,774個	270個	9.7%

教科書や問題集の「因数分解せよ」は、割り切れる式だけが選ばれています。ところが、二次方程式や二次関数の問題で出てくる式は、そうとは限りません。

たとえば 2x² ＋ 3x − 4 は、b² − 4ac ＝ 9 ＋ 32 ＝ 41 で平方数ではないので、どの組み合わせを試しても因数分解できません。

6x² ＋ 7x ＋ 2 なら 49 − 48 ＝ 1 ＝ 1² なので割り切れます。

数え方：a を p × r、c を q × s に分けた (px＋q)(rx＋s) の並べ方を、上下の入れ替えを同じとして数えた。「残る」は p と q、r と s がどちらも互いに素のもの。因数分解できるかは b² − 4ac が0以上の平方数かで判定。いずれも当サイトがプログラムで全部数えた値です。

出典：文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」(PDF)／同「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」(PDF)（2026年10月14日確認）

よくある質問

続けて読む：因数分解とは？意味を簡単に