【練習問題付き】sinA/2=cos(B+C)/2の証明

今回の問題

△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{A}{2}=\cos\frac{(B+C)}{2}
\end{eqnarray}

定期テストでよく出るタイプの証明問題です。問題文の cos(B+C)/2 は、cos((B+C)/2)（B+C を2で割った角の cos）の意味です。

下の解答例と考え方の流れで、1行ずつ確認してください。

解答例

このあと、この問題を解くための考え方の流れも説明します。

思考のプロセス

まずは証明したい式に B+C があるので、それを作ることを考えます。三角形の内角の和は180°ですので

\begin{eqnarray}
A=180°-(B+C)
\end{eqnarray}

そのあとは両辺を２で割って、さらに目的の式に近づけます。そして両辺のsinをとって、問題の式にそろえます。

\begin{eqnarray}
\sin\frac{A}{2}=\sin(90°-\frac{B+C}{2})
\end{eqnarray}

ここで、

\begin{eqnarray}
\sin(90°-θ)=\cosθ
\end{eqnarray}

の関係式を使いましょう。この式は理想は暗記ではなく導出です。できなければ重要な関係式ですので、復習してください。そうすることで目的の式が証明できました。

練習問題

(1)△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\cos \frac{A}{2}=\sin\frac{(B+C)}{2}
\end{eqnarray}

(2)△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B+C}{2}=1
\end{eqnarray}

練習問題の解答例

(1) cos(A/2)＝sin((B+C)/2) の解答

本問と同じく、A＋B＋C＝180° から A/2＝90°−(B+C)/2 です。両辺の cos をとります。

\begin{eqnarray}
\cos\frac{A}{2}=\cos(90°-\frac{B+C}{2})
\end{eqnarray}

cos(90°−θ)＝sinθ を使うと、右辺は sin((B+C)/2) になり、証明できました。

\begin{eqnarray}
\cos\frac{A}{2}=\sin\frac{B+C}{2}
\end{eqnarray}

(2) tan(A/2)tan((B+C)/2)＝1 の解答

同じく A/2＝90°−(B+C)/2 から、両辺の tan をとります。

\begin{eqnarray}
\tan\frac{A}{2}=\tan(90°-\frac{B+C}{2})
\end{eqnarray}

tan(90°−θ)＝1/tanθ を使うと、tan(A/2)＝1/tan((B+C)/2)。両辺に tan((B+C)/2) を掛けて、証明できました。

\begin{eqnarray}
\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2}=1
\end{eqnarray}

0°＜(B+C)/2＜90° なので tan((B+C)/2) は0にならず、両辺に掛けても問題ありません。

tan(90°−θ)＝1/tanθ は、tan＝sin/cos に sin(90°−θ)＝cosθ、cos(90°−θ)＝sinθ を入れると出てきます。

もし、解説に不備などありましたら、公式X(https://twitter.com/takata_juku)までお願いいたします。

【補足】映像授業は「見るだけで勉強した気になる」「続かない」が最大の弱点です。

続けられない・一人だと理解の穴が見つからないタイプは、映像より日時固定のオンライン個別や、つまずいた単元を特定して戻れる形のほうが向いています。

タイプ別の選び方はオンライン塾12社の比較記事にまとめました。

角度を入れて検算する｜3つの等式を5つの三角形で確かめ、共通テストの出題と照らした

本問と練習問題（1）（2）の等式が本当に成り立つかを、具体的な角度を入れて計算しました。値は小数第4位まで（第5位を四捨五入）です。

A, B, C	sin(A/2)	cos((B+C)/2)	cos(A/2)	sin((B+C)/2)	tan(A/2)tan((B+C)/2)
60°, 60°, 60°	0.5000	0.5000	0.8660	0.8660	1.0000
90°, 45°, 45°	0.7071	0.7071	0.7071	0.7071	1.0000
120°, 30°, 30°	0.8660	0.8660	0.5000	0.5000	1.0000
30°, 50°, 100°	0.2588	0.2588	0.9659	0.9659	1.0000
20°, 70°, 90°	0.1736	0.1736	0.9848	0.9848	1.0000

5つとも、左右の値が一致しました。

一方、内角の和が180°にならない角（A＝B＝C＝100°）を入れると、sin50°＝0.7660、cos100°＝−0.1736 で一致しません。

この等式は「A＋B＋C＝180°」が前提です。

同じ変形は、2026年1月の共通テスト「数学Ⅰ，数学Ａ」第1問〔2〕（図形と計量）にも出ました。

A＋C＝180°（解答記号コ）から sin C＝sin(180°−A)＝sin A を使い、面積を sin A だけで表す問題です。

大学入試センターの設問別の平均点から、得点率を出しました。

解答記号	内容（問題冊子・正解表）	配点	得点率
ク	△ABDの面積 (1/2)AB・AD sin A	2	91.3%
ケ	△BCDの面積 (1/2)BC・CD sin C	2	91.7%
コ・サ	A＋C＝180°、sin C＝sin A から四角形の面積	3	74.8%
シ〜ソ	円の接線と四角形PMOKの面積から sin P	3	45.8%
タ〜テ	同じ考えで sin Q	2	43.8%
ト〜ヌ	PR：QR	2	28.4%
ネ〜ハ	RL の長さ	2	25.7%
ヒ〜ヘ	交点Rが反対側にあるときの RL	4	2.7%

180°−θ の変形そのもの（コ・サ）は74.8%が取れていました。得点率が下がったのは、そのあと円の接線や辺の比と組み合わせる設問です。

本問の3つの等式は、入試では次の計算に進むための1行として出ます。

証明を覚えるより、「A＋B＋C＝180°を見たら角を入れ替える」を手で書けるようにしておくと先に進めます。

出典：大学入試センター「令和８年度 本試験の問題 数学Ⅰ，数学Ａ」p.6〜9／「令和８年度 本試験の正解 数学Ⅰ，数学Ａ」／「令和８年度 試験情報データ（本試験）」／「01_設問別得点率及び正答率表」(CSV)／文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」p.39（2026年10月13日確認）

三角形の内角でよく使う変形一覧

この問題は「A＝180°−(B+C)」から始まる変形の1つです。同じ出発点から、次の式がすべて作れます。どれも定期テストで「証明せよ」の形で出ます。

出発点	作れる式	使う関係
A＝180°−(B+C)	sin A＝sin(B+C)	sin(180°−θ)＝sinθ
A＝180°−(B+C)	cos A＝−cos(B+C)	cos(180°−θ)＝−cosθ
A/2＝90°−(B+C)/2	sin(A/2)＝cos((B+C)/2)	sin(90°−θ)＝cosθ（本問）
A/2＝90°−(B+C)/2	cos(A/2)＝sin((B+C)/2)	cos(90°−θ)＝sinθ（練習問題1）
A/2＝90°−(B+C)/2	tan(A/2)tan((B+C)/2)＝1	tan(90°−θ)＝1/tanθ（練習問題2）

右の列の関係は、高校の数学Ⅰで「三角比の基本的な相互関係」として扱います。

文部科学省の学習指導要領解説には、sin A＝cos(90°−A)、cos A＝sin(90°−A)、sin A＝sin(180°−A)、cos A＝−cos(180°−A) が例として挙がっています（高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編 p.39）。

tan の式は、tan＝sin/cos にこれらを入れて出した計算です。

sin(A/2) の値を求めるには：2倍角の公式から出す

この問題は sin(A/2) を (B+C) の式に書き換える証明でした。

「sin(A/2) の値そのもの」を求めたいときは、数学Ⅱで習う2倍角の公式 cos 2θ＝1−2sin²θ を、θ＝A/2 として使います。

\begin{eqnarray}
\cos A=1-2\sin^2\frac{A}{2}
\end{eqnarray}

これを sin²(A/2) について解き、三角形では 0°＜A/2＜90° で sin(A/2)＞0 なので、正の平方根をとります。

\begin{eqnarray}
\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}
\end{eqnarray}

いわゆる「半角の公式」で、2倍角の公式を変形しただけの式です。知っている角で確かめると次のとおりです。

A	cos A	式で出した sin(A/2)
60°	1/2	√((1−1/2)/2)＝1/2（sin30°と一致）
90°	0	√(1/2)＝√2/2（sin45°と一致）
120°	−1/2	√((1+1/2)/2)＝√3/2（sin60°と一致）

3辺の長さ a, b, c が分かっているときは、余弦定理 cos A＝(b²＋c²−a²)/(2bc) を入れると、角を求めずに計算できます。

\begin{eqnarray}
\sin^2\frac{A}{2}=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}=\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}
\end{eqnarray}

例：a＝7, b＝5, c＝8 なら (7−5＋8)(7＋5−8)/(4×5×8)＝40/160＝1/4 で、sin(A/2)＝1/2。

cos A＝(25＋64−49)/80＝1/2 で A＝60° なので、sin30°＝1/2 と一致します。

2倍角の公式は、文部科学省高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編で数学Ⅱ「三角関数」の内容（「三角関数の加法定理や2倍角の公式，三角関数の合成について理解すること」p.62）に挙がっています。

半角の公式はそこから変形して出す式です。

よくある質問

この問題で使う定理の見分け方

図形問題は「どの定理を使うか」の判断でほとんど決まります。三角形の問題で使う主要な定理を、問題文の条件から逆引きできるように整理しました。

※この対応表を暗記するのではなく、問題を解きながら「どれを使ったか」を記録していくと自然に身につきます。