【練習問題付き】sinA/2=cos(B+C)/2の証明

今回の問題

△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{A}{2}=\cos\frac{(B+C)}{2}
\end{eqnarray}

主に定期テストで問われることが多いタイプの問題です。必ずマスターしましょう！

解答例

この後に、この問題を解くための思考のプロセスを紹介していますので併せてそちらもご覧ください。

思考のプロセス

まずは証明したい式に B+C があるので、それを作ることを考えます。三角形の内角の和は180°ですので

\begin{eqnarray}
A=180°-(B+C)
\end{eqnarray}

そのあとは両辺を２で割って、さらに目的の式に近づけます。そして両辺のsinをとって、問題の式にそろえます。

\begin{eqnarray}
\sin\frac{A}{2}=\sin(90°-\frac{B+C}{2})
\end{eqnarray}

ここで、

\begin{eqnarray}
\sin(90°-θ)=\cosθ
\end{eqnarray}

の関係式を使いましょう。この式は理想は暗記ではなく導出です。できなければ重要な関係式ですので、復習してください。そうすることで目的の式が証明できました。

練習問題

(1)△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\cos \frac{A}{2}=\sin\frac{(B+C)}{2}
\end{eqnarray}

(2)△ABCの３つの内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさを、それぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{eqnarray}
\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B+C}{2}=1
\end{eqnarray}

練習問題の解答例

もし、解説に不備などありましたら、公式X(https://twitter.com/takata_juku)までお願いいたします。

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この問題で使う定理の見分け方

図形問題は「どの定理を使うか」の判断でほとんど決まります。三角形の問題で使う主要な定理を、問題文の条件から逆引きできるように整理しました。

※この対応表を暗記するのではなく、問題を解きながら「どれを使ったか」を記録していくと自然に身につきます。